Основні опр і теор 8 клас

Основні визначення і теореми. Геометрія 8 клас.

Багатокутник - це фігура, складена з відрізків так, що суміжні відрізки чи не лежать на одній прямій, а несуміжні відрізки не мають спільних точок.

Сума довжин всіх сторін багатокутника називається периметром багатокутника.

Дві вершини багатокутника, що належать одній стороні, називаються сусідніми.

Відрізок, що з'єднує будь-які дві несоседних вершини, називається діагоналлю багатокутника.

Багатокутник називається опуклим. якщо він лежить по одну сторону від кожної прямої, що проходить через дві його сусідні вершини.

Сума кутів опуклого n -угольніка дорівнює (n -2) · 180 °.

Чотирикутник - це багатокутник у якого чотири вершини і чотири сторони.

Дві несуміжні боку чотирикутника називаються протилежними.

Дві вершини, які не є сусідніми, називаються протилежними.

Сума кутів опуклого чотирикутника дорівнює 360 °.

Параллелограммом називається чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні.

(Властивості паралелограма) У параллелограмме протилежні сторони рівні і протилежні кути рівні. Діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл.

(Ознака паралелограма) Якщо в чотирикутнику дві сторони рівні і паралельні, то цей чотирикутник - паралелограм.

(Ознака паралелограма) Якщо в чотирикутнику протилежні сторони попарно рівні, то цей чотирикутник - паралелограм.

(Ознака паралелограма) Якщо в чотирикутнику діагоналі перетинаються і точкою перетину діляться навпіл, то цей чотирикутник - паралелограм.

Трапецією називається чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, а дві інші сторони не паралельні. Паралельні сторони трапеції називаються її підставами. а дві інші сторони - бічними сторонами.

Трапеція називається рівнобедреної. якщо її бічні сторони рівні.

Трапеція називається прямокутної. якщо один з її кутів прямий.

(Т. Фалеса) Якщо на одній з двох прямих відкласти послідовно кілька рівних відрізків і через їхні кінці провести паралельні прямі, які перетинають другу пряму, то вони відсічуть на другий прямий рівні між собою відрізки.

Прямокутником називається паралелограм, у якого всі кути прямі.

(Особлива властивість прямокутника) Діагоналі прямокутника рівні.

(Ознака прямокутника) Якщо параллелограмме діагоналі рівні, то цей паралелограм - прямокутник.

Ромбом називається паралелограм, у якого всі сторони рівні.

(Особлива властивість ромба) Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні і ділять його кути навпіл.

Квадратом називається прямокутник, у якого всі сторони рівні.

(Основні властивості квадрата) Всі кути квадрата прямі. Діагоналі квадрата рівні, взаємно перпендикулярні, точкою перетину діляться навпіл і ділять кути квадрата навпіл.

Дві точки А та А1 називаються симетричними відносно прямої а, якщо ця пряма проходить через середину відрізка Аа1 і перпендикулярна до нього.

Дві точки А та А1 називаються симетричними відносно точки О, якщо О - середина відрізка Аа1.

(Основні властивості площ) Рівні багатокутники мають рівні площі.

Якщо багатокутник складений з кількох багатокутників, то його площа дорівнює сумі площ цих багатокутників.

Площа квадрата дорівнює квадрату його сторони (S = a 2).

(Т.) Площа прямокутника дорівнює добутку його суміжних сторін (S = ab).

(Т.) Площа паралелограма дорівнює добутку його основи на висоту (S = ah).

(Т.) Площа трикутника дорівнює половині твори його заснування на висоту (S = ah).

Площа прямокутного трикутника дорівнює половині твори його катетів (S = ab).

Якщо висоти двох трикутників рівні, то їх площі відносяться як підстави.

Якщо кут одного трикутника дорівнює куту другого трикутника, то площі цих трикутників відносяться як твори сторін, що укладають рівні кути.

Площа трапеції дорівнює добутку півсуми її підстав на висоту (S = · h).

(Теорема Піфагора) У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів. (З 2 = a 2 + b 2)

(Теорема, зворотна теоремі Піфагора) Якщо квадрат одного боку трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін, то трикутник прямокутний.

Трикутник зі сторонами 3, 4, 5 називають єгипетським трикутником.

(Формула Герона) Площа трикутника зі сторонами a, b, c виражається формулою S =, гдеp = (a + b + c) - напівпериметр трикутника.

Кажуть, що відрізки AB і CD пропорційні відрізках A1 B1 і C1 D1, якщо =.

Два трикутника називаються подібними. якщо їх кути відповідно рівні і сторони одного трикутника пропорційні подібним сторонам іншого.

Число k, що дорівнює відношенню подібних сторін подібних трикутників, називається коефіцієнтом подібності.

(Т.) Відношення площ двох подібних трикутників дорівнює квадрату коефіцієнта подібності.

(Т. Перша ознака подібності трикутників) Якщо два кути одного трикутника відповідно дорівнюють двом кутам іншого, то такі трикутники подібні.

(Т. Друга ознака подібності трикутників) Якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам другого трикутника і кути, укладені між цими сторонами, рівні, то такі трикутники подібні.

(Т. Третя ознака подібності трикутників) Якщо три сторони одного трикутника пропорційні трьом сторонам іншого, то такі трикутники подібні.

Середня лінія трикутника - це відрізок, що з'єднує середини двох його сторін.

(Т. о середньої лінії трикутника) Середня лінія трикутника паралельна однієї з його сторін і дорівнює половині цієї сторони.

Медіани трикутника перетинаються в одній точці, яка ділить кожну медіану щодо 2: 1, рахуючи від вершини.

Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, поділяє трикутник на два подібних прямокутних трикутника, кожен з яких подібний до даного трикутника.

Відрізок XY називається середнім пропорційним (або середнім геометричним) для відрізків АВ і CD, якщо XY =

Середня лінія трапеції - це відрізок, що з'єднує середини її бічних сторін.

(Т. про середню лінії трапеції) Середня лінія трапеції паралельна основам трапеції і дорівнює їх напівсумі.

Синусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до гіпотенузи.

Косинусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до гіпотенузи.

Тангенсом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до прилеглого катета.

Тангенс кута дорівнює відношенню синуса до косинусу цього кута.

sin 2 A + cos 2 A = 1 - основне тригонометричну тотожність.

Якщо відстань від центру кола до прямої менше радіуса кола, то пряма і окружність мають дві загальні точки.

Якщо відстань від центру кола до прямої дорівнює радіусу кола, то пряма і окружність мають одну спільну точку.

Якщо відстань від центру кола до прямої більше радіусу кола, то пряма і коло не мають спільних точок.

Пряма, що має з колом тільки одну спільну точку, називається дотичною до кола, а їх загальна точка називається точкою дотику прямої та кола.

(Т. про властивість дотичної до кола) Дотична до кола перпендикулярна до радіуса, проведеного в точку дотику.

(Властивість відрізків дотичних, проведених з однієї точки) Відрізки дотичних до кола, проведені з однієї точки, рівні і складають рівні кути з прямою, що проходить через цю точку і центр кола.

(Т. Ознака дотичній) Якщо пряма проходить через кінець радіуса, що лежить на колі, і перпендикулярна до цього радіусу, то вона є дотичною

Дуга називається півколом. якщо відрізок, що з'єднує її кінці, є діаметром кола.

Кут з вершиною в центрі кола називається її центральним кутом.

Центральний кут вимірюється дугою, на яку він спирається.

Сума градусних мір двох дуг окружності з загальними кінцями дорівнює 360 °.

Кут, вершина якого лежить на колі, а сторони перетинають окружність, називається вписаним кутом.

(Т.) Вписаний кут вимірюється половиною дуги, на яку він спирається.

Вписані кути, що спираються на одну й ту ж дугу, рівні.

Вписаний кут, що спирається на півколо - прямий.

(Теорема про твір відрізків пересічних хорд) Якщо дві хорди окружності перетинаються, то твір відрізків однієї хорди дорівнює добутку відрізків інший хорди.

Кожна точка бісектриси неразвёрнутого кута рівновіддалена від його сторін. Зворотно: кожна точка, що лежить всередині кута і рівновіддалених від сторін кута, лежить на його бісектрисі.

Бісектриси трикутника перетинаються в одній точці.

Серединним перпендикуляром до відрізка називається пряма, що проходить через середину даного відрізка і перпендикулярна до нього.

(Теорема про серединному перпендикуляре до відрізка) Кожна точка серединного перпендикуляра до відрізка рівновіддалена від кінців цього відрізка. Зворотно: кожна точка, рівновіддалених від кінців відрізка, лежить на серединному перпендикуляре до нього.

Серединні перпендикуляри до сторін трикутника перетинаються в одній точці.

Висоти трикутника (або їх продовження) перетинаються в одній точці.

Чотири точки. точка перетину медіан, точка перетину биссектрис, точка перетину серединних перпендикулярів до сторін і точка перетину висот (або їх продовжень) називаються чудовими точками трикутника.

Якщо всі сторони багатокутника стосуються окружності, то коло називається вписаною в багатокутник, а багатокутник - описаним біля цієї окружності.

(Теорема про кола, вписаного в трикутник) У будь-який трикутник можна вписати коло.

У трикутник можна вписати тільки одне коло.

Не у всякий чотирикутник можна вписати коло.

У будь-якому описаному чотирикутнику суми протилежних сторін рівні.

Якщо суми протилежних сторін опуклого чотирикутника рівні то в нього можна вписати коло.

Якщо все вершини багатокутника лежать на окружності, то коло називається описаною навколо багатокутника, а багатокутник - вписаним в це коло.

(Теорема про кола, описаного навколо трикутника) Близько будь-якого трикутника можна описати коло.

Близько трикутника можна описати тільки одне коло.

Близько чотирикутника не завжди можна описати коло.

У будь-якому вписанном чотирикутнику сума протилежних кутів дорівнює 180 °.

Якщо сума протилежних кутів чотирикутника дорівнює 180 °, то біля нього можна описати коло.