Основні методи побудови графіків функцій, контент-платформа

Графік функції-це безліч точок, у яких абсциси є допустимими значеннями аргументу х. а ординати - відповідними значеннями функції y.

1 Паралельно перенесення

1.1.Перенос (зрушення) уздовж осі ординат

Нехай потрібно побудувати графік функції y = f (x) + b. Неважко помітити, що ординати цього графіка для всіх значень аргументу на b одиниць більше відповідних ординат графіка y = f (x) при b> 0 і на b одиниць менше при b<0. Следовательно, график функции y=f(x)+b можно получить параллельным переносом вдоль оси ординат графика функции y=f(x) на b единиц вверх при b>0 або вниз при b<0.

Розглянемо це на прикладі побудови графіка функції y = x2 +1. Скористаємося вже добре відомим нам графіком функції y = x2 (рис.1), назвавши його вихідним графіком. Порівнюючи функцію y = x2 +1 з функцією y = x2. бачимо, що ординати y графіка заданої функції на 1 більше ординат початкового графіка. Отже, вихідний графік треба перенести на 1 вгору, як це і показано на малюнку 2.

Однак переміщення графіка пов'язане з його перемальовування, що буває важко, особливо в разі складних графіків. Перенесення ж графіка на b одиниць вгору або вниз вздовж осі ординат еквівалентний відповідному, протилежного переносу осі абсцис на стільки ж одиниць.

Повернемося до нашого прикладу і покажемо, що графік функції y = x2 + 1 можна побудувати ще простіше, якщо скористатися тим же вихідним графіком y = x2, але замість перенесення всієї кривої вгору на 1 перенести вісь x-ів на ту ж одиницю вниз, як показано на малюнку 3. Тим самим щодо нової осі x-ів всі ординати кривої збільшуються на 1, і виходить графік заданої функції.

Саме цим способом і слід користуватися, тому сформулюємо наступне правило.

Для побудови графіка функцііy = f (x) + b (гдеy = f (x) - найпростіша функція, графік якої нам відомий) слід побудувати графік функцііy = f (x), причому горизонтальну вісь накреслити штриховий лінією і потім зрушити її наbедініц вниз, есліb> 0 і наbедініц вгору, есліb<0. Это и будет истинная ось х-ов; полученный в новой системе координат график является графиком функцииy=f(x)+b.

Приклад 1. Побудувати графік функції y = 2x + 3.

Будуємо графік функції y = 2x і переносимо вісь абсцис на 3 одиниці вниз. Отримуємо графік функції y = 2x + 3 (рис.4). Пряма y = 3 є горизонтальною асимптотой. Графік перетинає вісь ординат в точці (0; 4).

2.3.Построеніе графіків парної і непарної функцій

Як уже зазначалося, для парної функції y = f (x) у всій області зміни її аргументу справедливо співвідношення f (x) = f (- x). Отже, функція такого роду приймає однакові значення при всіх значеннях аргументу, рівних за абсолютною величиною, але протилежних за знаком. Графік парної функції симетричний щодо осі ординат.

Для побудови графіка парної функції y = f (x) слід побудувати гілку графіка цієї функції тільки в області позитивних значень аргументу x. Графік функції y = f (x) в області негативних значень аргументу симетричний побудованої гілки щодо осі ординат і виходить відображенням її відносно цієї осі.

Приклад 8. Побудувати графік функції y =.

Р і ш е н і е: Ця функція - парна, тому досить побудувати її графік лише в області позитивних значень x (точка x = 0 не входить в область визначення функції). При x> 0 початкова функція має вигляд y =. Графік функції y = в області негативних значень x отримуємо відображенням відносно осі ординат (рис.11).

Для непарної функції y = f (x) в області всіх значень аргументу справедливо рівність f (-x) = - f (x). Таким чином, в області негативних значень аргументу ординати графіка непарної функції рівні за величиною, але протилежні за знаком ординатам графіка тієї ж функції при відповідних позитивних значеннях x. Графік непарної функції симетричний відносно початку координат.

Для побудови графіка непарної функції y = f (x) слід будувати гілку графіка цієї функції тільки в області позитивних значень аргументу (x).

Графік функції y = f (x) в області негативних значень аргументу симетричний побудованої гілки щодо початку координат і може бути отриманий відображенням цієї гілки щодо осі ординат з подальшим відображенням у області негативних значень x щодо осі абсцис.

Приклад 9. Побудувати графік функції y = x.

Р і ш е н і е: Вихідна функція є непарною, тому будуємо її в області позитивних значень аргументу (x), де вона має вигляд y = x2. Графік функції y = x в області негативних значень аргументу отримуємо відображенням побудованої гілки щодо початку координат (рис.12).

Приклад 10. Побудувати графік функції y =.

Р і ш е н і е: Ця функція є непарною, тому будуємо її графік лише в області x> 0 (точка x = 0 не входить в область визначення функції), де вона має вигляд y = 1. Гілка графіка даної функції при x<0 получаем отражением относительно начала координат построенной ветви кривой (рис.13). Стрелки означают, что точки (0,1) и (0,-1) не принадлежат графику.

2.4. Побудова графіка оберненої функції

Пряма і зворотна функції виражають одну і ту ж залежність між змінними x і y, з тією лише відмінністю, що в зворотної функції ці змінні помінялися ролями, що рівносильно зміни позначень осей координат. Тому графік оберненої функції симетричний графіку прямої функції щодо бісектриси I і III координатних кутів, т. Е. Щодо прямої y = x. Таким чином, отримуємо наступне правило.

Для побудови графіка функції y =, зворотної по відношенню до функції y = f (x), слід побудувати графік y = f (x) і відобразити його відносно прямої y = x.

Приклад 11. Побудувати графік функції y =.

Р і ш е н і е: Щоб побудувати графік даної функції, розглянемо графік параболи y = x2 (рис.14 - пунктирна крива) і графік оберненої до неї функції y =, одержуваний відображенням параболи відносно прямої y = x. Зворотна функція є двозначною. В силу того, що початкова функція y = однозначна і область її зміни є напівінтервал 0 y<, графиком функции y= является верхняя ветвь отражённой параболы (сплошная кривая). Нижняя же ветвь (штрих-пунктир) представляет собой график функции y= - .

Приклад 12. Побудувати графік функції y =.

Р і ш е н і е: Ця функція є зворотною по відношенню до функції y = x, тому будуємо графік функції y = x і відображаємо його відносно прямої y = x (рис.15).

3. Деформація (стиснення і розтягнення)

3.1 Стиснення (розтягнення) графіка вздовж осі ординат

Розглянемо функцію виду y = A, де A> 0. Неважко помітити, що при рівних значеннях аргументу ординати графіка цієї функції будуть в A раз більше ординат графіка функції y = f (x) при A> 1 або в раз менше ординат графіка функції y = f (x) при A<1. Таким образом, получаем следующее правило.

Для побудови графіка функції y = A слід побудувати графік функції y = f (x) і збільшити його ординати в A раз при A> 1 (зробити розтягнення графіка вздовж осі ординат) або зменшити його ординати в разів при A<1 (произвести сжатие графика вдоль оси ординат). Полученный график является графиком функции y=A .

Приклад 13. Побудувати графік функції y = 2cos x.

Р і ш е н і е: Будуємо графік функції y = cos x (рис.16 - пунктирна крива) і розтягуванням цього графіка вздовж осі ординат в 2 рази отримуємо графік функції y = 2cos x (суцільна крива).

Приклад 14. Побудувати графік функції y = x2.

Р і ш е н і е: Будуємо графік функції y = x2 і стисненням цього графіка в 3 рази вздовж осі ординат отримуємо графік функції y = x2 (рис.17).

3.2. Стиснення (розтягнення) графіка вздовж осі абсцис

Нехай потрібно побудувати графік функції y = f (wx), де w> 0. Розглянемо функцію y = f (x), яка в довільній точці x = x1 приймає значення y1 = f (x1).

Очевидно, що функція y = f (wx) приймає таке ж значення в точці x = x2, координата

якої визначається рівністю x1 = wx2, або x2 =, причому це рівність справедливо для сукупності всіх значень x з області визначення функції. Отже, графік функції y = f (wx) виявляється стислим (при w> 1) або розтягнутим (при w<1) вдоль оси абсцисс относительно графика функции y=f(x). Таким образом, получаем следующее правило.

Для побудови графіка функції y = f (wx) слід побудувати графік функції y = f (x) і зменшити його абсциси в w раз при w> 1 (провести стиснення графіка вздовж осі абсцис) або збільшити його абсциси в раз при w<1 (произвести растяжение графика вдоль оси абсцисс). Полученный график является графиком функции y=f(wx).

Приклад 15. Побудувати графік функції px.

Р і ш е н і е: Будуємо графік функції x (рис.18 - пунктирна крива), і проводячи його стиснення в p разів уздовж осі абсцис, отримуємо графік функції px (суцільна крива). Період цієї функції вже дорівнював не 2p, а = 2. Графік перетинає вісь абсцис в точках x = 0, ....

Приклад 16. Побудувати графік функції.

Р і ш е н і е: Будуємо графік функції і, розтягнувши його уздовж осі абсцис в 3 рази, отримуємо графік функції.

4. Комбінація перенесення, відображення і деформації

Дуже часто при побудові графіків функцій застосовують композицію прийомів, викладених в пунктах 1-3. Послідовне застосування ряду таких прийомів дозволяє істотно спростити побудову графіка вихідної функції і нерідко звести його в кінці кінців до побудови однієї з найпростіших елементарних функцій.

Розглянемо, як з урахуванням викладеного слід, наприклад, побудувати графік функції відаy = Af (wx + a) + b. Запишемо вихідну функцію у вигляді y = Af [w (x +)] + b і схему поетапного її спрощення (послідовність перетворень):

1. y = Af [w (x +)] + b; перенос осі абсцис на b одиниць;

2. y = Af [w (x +)]; перенос осі ординат на одиниць;

3. y = Af [w x]; відображати в часі щодо осі абсцис

(Етап виконується тільки при A<0);

4. y = ÷ A ÷ · f (wx); стиснення або розтягнення графіка

вздовж осі ординат;

5. y = f (wx) відображати в часі щодо осі ординат

(Етап виконується тільки при w<0);

6. y = f (÷ w ÷ x); стиснення або розтягнення уздовж осі абсцис;

Проводячи побудова графіка крок за кроком в порядку, зворотному порядку спрощення виду функції з урахуванням всіх зазначених правил, отримаємо графік вихідної функції.

Приклад 17. Побудувати графік функції y =.

Р і ш е н і е: Схема побудови графіка:

Отже, побудова графіка вихідної функції слід починати з побудови графіка функції y =. Графік (рис.20) перетинає вісь ординат в точці (з умови x = 0), а вісь абсцис в точках x = ± 1 (з умови y = 0, т. Е. = 0).

У висновку відзначимо, що порядок спрощення доцільно проводити в наступній послідовності.

1. Використання парності або непарності функції.

3. Відображення і деформація.

Побудова ж графіка, як зазвичай, виконується в зворотній послідовності.