Основні елементарні функції, їх властивості та графіки

, на інтервалі xÎ [-3; 3]

Функція виду у (х) = х n. де n - число ÎR, називається ступеневою функцією. Число n може приймати ралічние значення: як цілі, так і дробові, як парні, так і непарні. Залежно від цього, статечна функція буде мати різний вигляд. Розглянемо окремі випадки, які є статечними функціями і відображають основні властивості даного виду кривих в наступному порядку: статечна функція у = х² (функція з парних показником ступеня - парабола), статечна функція у = х³ (функція з непарним показником ступеня - кубічна парабола) і функція у = √х (х в ступені ½) (функція з дробовим показником ступеня), функція з негативним цілим показником (гіпербола).

Степенева функція у = х²

1. D (x) = R - функція визначена на все числовій осі;

2. E (y) = [0; ∞) - функція набуває додатних значень на всій області визначення;

3. При х = 0 у = 0 - функція проходить через початок координат O (0; 0).

4. Функція убуває на проміжку (-∞; 0] і зростає на проміжку [0; ∞).

5. Функція є парною (симетрична щодо осі Оу).

Залежно від числового множника, що стоїть перед х², функція може бути вже / ширше і спрямована вгору / вниз.

, на інтервалі xÎ [-3; 3]

Степенева функція у = х³

1. Графік функції у = х³ називається кубічної параболою. Степенева функція у = х³ має такі властивості:

2. D (x) = R - функція визначена на все числовій осі;

3. E (y) = (- ∞; ∞) - функція приймає всі значення на своїй області визначення;

4. При х = 0 у = 0 - функція проходить через початок координат O (0; 0).

5. Функція зростає на всій області визначення.

6. Функція є непарною (симетрична щодо початку координат).

, на інтервалі xÎ [-3; 3]

Залежно від числового множника, що стоїть перед х³, функція може бути крутий / пологих і зростати / спадати.

Степенева функція з цілим від'ємним показником:

Якщо показник ступеня n є непарним, то графік такий статечної функції називається гіперболою. Степенева функція з цілим від'ємним показником ступеня має такі властивості:

1. D (x) = (- ∞; 0) U (0; ∞) для будь-якого n;

2. E (y) = (- ∞; 0) U (0; ∞), якщо n - непарне число; E (y) = (0; ∞), якщо n - парне число;

3. Функція убуває на всій області визначення, якщо n - непарне число; функція зростає на проміжку (-∞; 0) і спадає на проміжку (0; ∞), якщо n - парне число.

4. Функція є непарною (симетрична щодо початку координат), якщо n - непарне число; функція є парною, якщо n - парне число.

5. Функція проходить через точки (1; 1) і (-1; -1), якщо n - непарне число і через точки (1; 1) і (-1; 1), якщо n - парне число.

, на інтервалі xÎ [-3; 3]

Степенева функція з дробовим показником

Степенева функція з дробовим показником виду (картинка) має графік функції, зображений на малюнку. Степенева функція з дробовим показником ступеня має такі властивості: (картинка)

1. D (x) ÎR, якщо n - непарне число і D (x) = [0; ∞), якщо n - парне число;

2. E (y) Î (-∞; 0) U (0; ∞), якщо n - непарне число; E (y) = [0; ∞), якщо n - парне число;

3. Функція зростає на всій області визначення для будь-якого числа n.

4. Функція проходить через початок координат в будь-якому випадку.