Основне рівняння МКТ газів

Найпростішою моделлю, розглянутої молекулярно-кінетичної теорії, є модель ідеального газу. У кінетичної моделі ідеального газу молекули розглядаються як ідеально пружні кульки, які взаємодіють між собою і зі стінками тільки під час пружних зіткнень. Сумарний обсяг всіх молекул передбачається малим в порівнянні з об'ємом посудини, в якому знаходиться газ. Модель ідеального газу досить добре описує поведінку реальних газів в широкому діапазоні тисків і температур. Завдання молекулярно-кінетичної теорії полягає в тому, щоб встановити зв'язок між мікроскопічними (маса, швидкість, кінетична енергія молекул) і макроскопічними параметрами (тиск, об'єм, температура).

В результаті кожного зіткнення між молекулами і молекул зі стінками швидкості молекул можуть змінюватися по модулю і по напрямку; на інтервалах часу між послідовними зіткненнями молекули рухаються рівномірно і прямолінійно. У моделі ідеального газу передбачається, що всі зіткнення відбуваються за законами пружного удару, т. Е. Підкоряються законам механіки Ньютона.

Використовуючи модель ідеального газу, обчислимо тиск газу на стінку посудини. В процесі взаємодії молекули зі стінкою судини між ними виникають сили, які підпорядковуються третім законом Ньютона. В результаті проекція υx швидкості молекули, перпендикулярна стінці, змінює свій знак на протилежний, а проекція υy швидкості, паралельна стінці, залишається незмінною (рис. 3.2.1).

Пружне зіткнення молекули зі стінкою

Тому зміна імпульсу молекули дорівнюватиме 2m0 υx. де m0 - маса молекули.

Виділимо на стінці деяку площадку S (рис. 3.2.2). За час δt з цим майданчиком зіткнуться всі молекули, що мають проекцію швидкості υx. спрямовану в бік стінки, і знаходяться в циліндрі з підставою площі S і висотою υx δt.

Визначення числа зіткнень молекул з майданчиком S

Нехай в одиниці об'єму посудини містяться n молекул; тоді число молекул в об'ємі циліндра одно nS υx δt. Але з цього числа лише половина рухається в бік стінки, а інша половина рухається в протилежному напрямку і зі стінкою не стикався. Отже, число ударів молекул об майданчик S за час δt одно

Оскільки кожна молекула при зіткненні зі стінкою змінює свій імпульс на величину 2m0 υx. то повна зміна імпульсу всіх молекул, що зіткнулися за час δt з майданчиком S. одно

За законами механіки це зміна імпульсу всіх зіткнулися зі стінкою молекул відбувається під дією імпульсу сили F δt. де F - деяка середня сила, що діє на молекули з боку стінки на майданчику S. Але по 3-му закону Ньютона така ж по модулю сила діє з боку молекул на майданчик S. Тому можна записати:

Розділивши обидві частини на S δt. отримаємо:

де p - тиск газу на стінку посудини.

При виведенні цього співвідношення передбачалося, що всі n молекул, що містяться в одиниці об'єму газу, мають однакові проекції швидкостей на вісь X. Насправді це не так.

В результаті численних зіткнень молекул газу між собою і зі стінками в посудині, що містить велику кількість молекул, встановлюється деякий статистичний розподіл молекул за швидкостями. При цьому всі напрями векторів швидкостей молекул виявляються рівноправними (рівноімовірними), а модулі швидкостей і їх проекції на координатні осі підкоряються певним закономірностям. Розподіл молекул газу по модулю швидкостей називається розподілом Максвелла. Джеймс Максвелл в 1860 р вивів закон розподілу молекул газу за швидкостями, виходячи з основних положень молекулярно-кінетичної теорії. На рис. 3.2.3 представлені типові криві розподілу молекул за швидкостями. По осі абсцис відкладений модуль швидкості, а по осі ординат - відносне число молекул, швидкості яких лежать в інтервалі від υ до υ + δυ. Це число дорівнює площі виділеного на рис. 3.2.3 стовпчика.

Розподіл молекул за швидкостями. T2> T1

Характерними параметрами розподілу Максвелла є найбільш ймовірна швидкість υв. відповідна максимуму кривої розподілу, і середньоквадратична швидкість

- середнє значення квадрата швидкості.

З ростом температури максимум кривої розподілу зміщується в бік великих швидкостей, при цьому υв і υкв збільшуються.

Щоб уточнити формулу для тиску газу на стінку посудини, припустимо, що всі молекули, що містяться в одиниці об'єму, розбиті на групи, які містять n1. n2. n3 і т. д. молекул з проекціями швидкостей υx1. υx2. υx3 і т. д. відповідно. При цьому

Кожна група молекул вносить свій внесок

в тиск газу. В результаті зіткнень із стінкою молекул з різними значеннями проекцій υxi швидкостей виникає сумарне тиск

Вхідна в цей вислів сума - це сума квадратів проекцій υx всіх n молекул в одиничному обсязі газу. Якщо цю суму розділити на n. то ми отримаємо середнє значення квадрата проекції швидкості молекул:

Це рівняння встановлює зв'язок між тиском p ідеального газу, масою молекули m0. концентрацією молекул n. середнім значенням квадрата швидкості і середньої кінетичної енергією поступального руху молекул. Його називають основним рівнянням молекулярно-кінетичної теорії газів.

Таким чином, тиск газу дорівнює двом третинам середньої кінетичної енергії поступального руху молекул, що містяться в одиниці об'єму.

В основне рівняння молекулярно-кінетичної теорії газів входить твір концентрації молекул n на середню кінетичну енергію поступального руху. Якщо припустити, що газ знаходиться в посудині незмінного обсягу V. то

(N - число молекул в посудині). У цьому випадку зміна тиску δp пропорційно зміні середньої кінетичної енергії.

Виникають питання: яким чином можна на досвіді змінювати середню кінетичну енергію руху молекул в посудині незмінного обсягу? Яку фізичну величину потрібно змінити, щоб змінилася середня кінетична енергія Досвід показує, що такий величиною є температура.

Поняття температури тісно пов'язане з поняттям теплового рівноваги. Тіла, що знаходяться в контакті один з одним, можуть обмінюватися енергією. Енергія, що передається одним тілом іншому при тепловому контакті, називається кількістю теплоти.

Теплове рівновагу - це такий стан системи тіл, що знаходяться в тепловому контакті, при якому не відбувається теплопередачі від одного тіла до іншого, і все макроскопічні параметри тел залишаються незмінними. Температура - це фізичний параметр, однаковий для всіх тіл, що знаходяться в тепловій рівновазі. Можливість введення поняття температури випливає з досвіду і носить назву нульового закону термодинаміки.

Для вимірювання температури використовуються фізичні прилади - термометри. в яких про величину температури судять по зміні якого-небудь фізичного параметра. Для створення термометра необхідно вибрати термометрична речовина (наприклад, ртуть, спирт) і Термометрична величину. характеризує властивість речовини (наприклад, довжина ртутного або спиртового стовпчика). У різних конструкціях термометрів використовуються різноманітні фізичні властивості речовини (наприклад, зміна лінійних розмірів твердих тіл або зміна електричного опору провідників при нагріванні).

Термометри повинні бути відкалібровані. Для цього їх приводять в тепловий контакт з тілами, температури яких вважаються заданими. Найчастіше використовують прості природні системи, в яких температура залишається незмінною, незважаючи на теплообмін з навколишнім середовищем - це суміш льоду і води і суміш води і пари при кипінні при нормальному атмосферному тиску. За температурної шкалою Цельсія точці плавлення льоду приписується температура 0 ° С, а точки кипіння води - 100 ° С. Зміна довжини стовпа рідини в капілярах термометра на одну соту довжини між відмітками 0 ° С і 100 ° С приймається рівним 1 ° С. У ряді країн (США) широко використовується шкала Фаренгейта (TF), в якій температура замерзлої води приймається рівною 32 ° F, а температура кипіння води рівній 212 ° F. отже,

Особливе місце у фізиці займають газові термометри (рис. 3.2.4), в яких термометричною речовиною є розріджений газ (гелій, повітря) в посудині незмінного обсягу (V = const), а термометрической величиною - тиск газу p. Досвід показує, що тиск газу (при V = const) зростає з ростом температури, яка вимірюється за шкалою Цельсія.

Англійський фізик У. Кельвін (Томсон) в 1848 році запропонував використовувати точку нульового тиску газу для побудови нової температурної шкали (шкала Кельвіна). У цій шкалі одиниця виміру температури така ж, як і в шкалою Цельсія, але нульова точка зрушена:

В системі СІ прийнято одиницю виміру температури за шкалою Кельвіна називати Кельвіном і позначати буквою K. Наприклад, кімнатна температура TС = 20 ° С за шкалою Кельвіна дорівнює TК = 293,15 К.

Температурна шкала Кельвіна називається абсолютною шкалою температур. Вона виявляється найбільш зручною при побудові фізичних теорій.

Немає необхідності прив'язувати шкалу Кельвіна до двох фіксованим точкам - точці плавлення льоду і точки кипіння води при нормальному атмосферному тиску, як це прийнято в шкалою Цельсія.

Крім точки нульового тиску газу, яка називається абсолютним нулем температури. досить прийняти ще одну фіксовану опорну точку. У шкалі Кельвіна в якості такої точки використовується температура потрійної точки води (0,01 ° С), в якій в тепловій рівновазі знаходяться всі три фази - лід, вода і пар. За шкалою Кельвіна температура потрійної точки приймається рівною 273,16 К.

Газові термометри громіздкі і незручні для практичного застосування: вони використовуються в якості високоточного стандарту для калібрування інших термометрів.

Таким чином, тиск розрідженого газу в посудині постійного обсягу V змінюється прямо пропорційно його абсолютній температурі: p

T. З іншого боку, досвід показує, що при незмінних обсязі V і температурі T тиск газу змінюється прямо пропорційно відношенню кількості речовини ν в даному посудині до обсягу V судини

де N - число молекул в посудині, NА - постійна Авогадро, n = N / V - концентрація молекул (т. е. число молекул в одиниці об'єму посудини). Об'єднуючи ці співвідношення пропорційності, можна записати:

де k - деяка універсальна для всіх газів постійна величина. Її називають постійної Больцмана. в честь австрійського фізика Людвіга Больцмана, одного з творців молекулярно-кінетичної теорії. Постійна Больцмана - одна з фундаментальних фізичних констант. Її чисельне значення в СІ одно:

k = 1,38 · 10 -23 Дж / К.

Порівнюючи співвідношення p = nkT з основним рівнянням молекулярно-кінетичної теорії газів, можна отримати:

Середня кінетична енергіяхаотіческого руху молекул газу прямо пропорційна абсолютній температурі.

Таким чином, температура є мірою середньої кінетичної енергії поступального руху молекул.

Слід звернути увагу на те, що середня кінетична енергія поступального руху молекули не залежить від її маси. Броунівський частка, зважена в рідині або газі, має таку ж середньої кінетичної енергією, як і окрема молекула, маса якої на багато порядків менше маси броунівський частинки. Цей висновок поширюється і на випадок, коли в посудині знаходиться суміш хімічно невзаимодействующих газів, молекули яких мають різні маси. У стані рівноваги молекули різних газів матимуть однакові середні кінетичні енергії теплового руху, які визначаються тільки температурою суміші. Тиск суміші газів на стінки посудини буде складатися з парціальних тисків кожного газу:

У цьому співвідношенні n1. n2. n3. ... - концентрації молекул різних газів в суміші. Це співвідношення виражає на мові молекулярно-кінетичної теорії експериментально встановлений на початку XIX століття закон Дальтона: тиск в суміші хімічно невзаимодействующих газів дорівнює сумі їх парціальних тисків.