Обчислення коренів полінома методом виділення кола, що обмежує його коріння

Неможливість виконання деяких операцій, що призводять виключно до позитивних результатів, підвела математику до використання нуля і негативних чисел; і, нарешті, завдяки необхідності вилучення коренів, утворилося таке поняття, як ірраціональні числа.

Використання апарату комплексних чисел дозволило вирішити багато складні математичні завдання. Тому з часом комплексні числа займали все більш важливе положення в математиці і її додатках. В першу чергу вони глибоко проникали в теорію алгебраїчних рівнянь, істотно спростивши їх вивчення.

Кінець двадцятого століття був відзначений стрімким розвитком багатьох галузей науки і техніки. Обчислювальна техніка стала незамінним інструментом вирішення завдань, що використовують площину комплексних чисел. Крім того, існує величезна безліч систем автоматичного управління, що використовують комплексні площині для підтримки своєї роботи. Зокрема, існують замкнуті стійкі системи, в яких, згідно з теоремою, доведеною А. М. Ляпуновим, коріння характеристичного рівняння повинні знаходитися в лівій півплощині комплексної площині коренів.

Надалі ця теорема не тільки знайшла застосування у вирішенні подібних завдань, а й послужила поштовхом для розвитку більш ефективних алгоритмів. Одним з них є алгоритм локалізації коренів полінома в області комплексних чисел.

Завдання обчислення, або хоча б локалізації, коренів полінома поряд з чисельними методами лінійної алгебри має важливе прикладне значення. Так, наприклад, питання про стійкість положення рівноваги динамічної системи при досить загальних пропозиціях зводиться до питання про те, чи всі корені характеристичного рівняння линеаризованной системи розташовані в комплексній площині лівіше уявної осі. Цим пояснюється безперервний інтерес математиків і інженерів до стійким поліномами.

Щоб цілеспрямовано шукати корені полінома бажано хоча б орієнтовно уявляти собі де вони можуть перебувати. Відомо, що корені полінома не виходять за межі кола на комплексній площині з центром в її початку і радіусом R.

Корінь полінома часто називають його нулем, тому що в корені поліном наближається до нуля. Якщо ж говорити про комплексний корені (а це загальний випадок), то в корені і речова Re і уявна Im частини значення полінома повинні одночасно звертатися в нулі. Введемо в розгляд модуль значення полінома, рівний кореню квадратному із суми квадратів Re і Im. І тоді в потенційному корені цей модуль повинен буде звертатися в нуль.

Таким чином, пошук коренів полінома на комплексній площині можна організувати як пошук таких точок, де модуль даного полінома звертається в нуль. Можна запропонувати безліч алгоритмів вирішення цього завдання. Оскільки нуль - це абсолютний мінімум значення модуля, то коріння можна шукати як точки абсолютних мінімумів (всі абсолютні мінімуми для модулів в області, що містить коріння полінома, дорівнюють нулю). Слід обмежитися самим примітивним, але простим в програмному відношенні методом пошуку, а саме - перебором (скануванням) заданої області з деяким фіксованим кроком. Для простоти використовується одне і те ж значення кроку h і по вертикалі і по горизонталі. Тим самим як би покривається досліджувана область (ділянка комплексної площині) квадратної сіткою (з розміром осередку h * h), обчислюється в вузлах сітки значення полінома, визначається модуль цього значення і вибирається той вузол, де модуль значення полінома буде найменшим.

За значенням полінома (і його модуля зокрема) дуже важко оцінити відстань від розглянутої точки до кореня. Виняток - якщо б модуль точно дорівнював нулю. Однак, нуль з похибкою вже не нуль. Для вирішення даного завдання, для початку, слід просто відшукати вузол, де модуль полінома приймає мінімальне значення. Знайдена таким чином точка (вузол) і буде найкращим претендентом на роль шуканого кореня.

Слід зазначити, що завдання обчислення коренів полінома і їх локалізації в заданій області поля комплексних чисел є взаємопов'язаними і взаємно доповнюваними. Їх не слід протиставляти. Так, при обчисленні коренів полінома за допомогою ітераційного алгоритму необхідно вибрати початкове значення кореня. Від цього кореня залежить дуже багато чого. Наприклад, область збіжності методу Ньютона до якого-небудь корені на комплексній площині, так звана зона тяжіння, утворює фрактальну структуру. Навіть коріння полінома обчислюються в поле дійсних чисел, попередньо повинна бути вирішена задача їх достатньою локалізації, щоб початкові значення для ітераційного алгоритму сходилися до різних коренів.

Список використаної літератури:

Аналіз кардіограми серця є невід'ємною частиною кардіології. Ця медична дисципліна вивчає, шляхом обробки сигналів, які в зашифрованому вигляді можна піднести на папері, с.

Вибираючи якісний і продуктивний метод обробно-зачистной обробки, розглянемо обробку поверхонь деталей дротовим інструментом у вигляді іглофрез. Іглофрези представляють соб.