нормальні підгрупи

Теорема 2. 1. 1. Для подгруппиН групи А еквівалентні твердження:

1. Безліч всіх л.с.к. групи А по підгрупі Н замкнуто щодо множення підмножин.

2. Н замкнуто щодо взяття сполучених в А елементів, тобто ahaН для будь-яких Hн і АА.

3. Ан = На для кожного АА.

4. Лівобічний і правосторонній розкладання групи А по підгрупі Н збігаються.

Доведення. 1 => 2. Оскільки АН # 8729; а -1 Н = Н (теорема 1.4.2 п. 1.4.), то в силу властивості суміжних класів 1) п. 1.4, Ана -1 Н. Це і означає, що Н маєте з кожним своїм елементом hH містить будь-який зв'язаний з ним елемент a -1 ha (a А).

Очевидно, що 3 => 1. Ясно також, що 3 => 4. Доведемо 4 => 3. Нехай лівосторонні і правосторонні розкладання групи А по підгрупі Н збігаються, тобто в обох випадках група А є об'єднання одних і тих же підмножин. Тому л.с.к. Ан збігається з деяким п.с.к. Нb, що містить елемент а. По властивості 2) Нb = На. Значить, Ан = На.

Визначення 2. 1. 1. Підгрупа Н групи А називається нормальною підгрупою, якщо вона задовольняє один з еквівалентних умов 1 - 4 теореми.

Споживані назви - нормальний дільник, інваріантна підгрупа. Запис Н А означає, що Н є нормальний дільник A.

Теорема 2. 1. 2. Нехай Н А. Безліч всіх л.с.к. (П.с.к.) групи А але нормальної підгрупі Н щодо операції множення підмножин утворює групу.

Доказ безпосередньо випливає з опр. 2.1.1, теореми 2.1.1 і теореми 1.4.2.

Визначення 2. 1. 2. Група всіх л.с.к. (П.с.к.) групи А по нормальної підгрупі Н називається фактор-групою групи А по нормальної підгрупі Н і позначається А / Н.

Зауваження: 1.Якщо група А кінцева, то по теоремі Лагранжа | А / Н | = (А. Н) = | A |: | Н |.

2. Будь-яка підгрупа абельовой групи нормальна.

1. Для будь-якої групи А її нормальними підгрупами будуть тривіальні підгрупи Е = і А. Розкладання групи А по Е збігається з розкладанням групи А на окремі елементи, а розкладання А по А складається з одного суміжного класу, рівного А.

2. Нехай А = - мультипликативная група оборотних квадратних матриць п - го порядку з дійсними елементами. Безліч Н = ВMnn (R) | У | = 1> оборотних матриць, що належать визначник яких дорівнює 1, буде мультипликативной підгрупою цієї групи А. Знайдемо лівосторонній розкладання групи А по Н. Нехай МMnn (R), тоді М # 8729; Н = М # 8729; Вi | МMnn (R), вiн). Так як вiн. то | Вi | = 1 і тоді | М # 8729; Вi | = | М | # 8729; | Вi | = | М | # 8729; 1 = | М |, тобто лівий суміжний клас, породжений матрицею М, буде складатися з таких матриць, визначники яких дорівнюють определителю матриці М.

Знайдемо правий суміжний клас, породжений матрицею М.

Фактор-група А / Н складається з класів матриць з однаковими ненульовими визначниками і фактично є мультипликативной групою R *.

3. Розглянемо мультипликативную групу С * комплексних чисел. Ототожнив З * з безліччю точок площині без початку координат.

а) Н ототожнив з прямою, що проходить через початок координат (без нього). Тоді С * / Н - це пучок прямих, що проходять через початок координат, які множаться шляхом складання їх кутів проти годинникової стрілки.

б) З * / З 1 - це безліч концентричних кіл з центром в початку координат, які множаться шляхом перемноження їх радіусів. Це дає підставу вважати, що С * / З 1 збігається, по суті, з мультипликативной групою R +.