Невязка - студопедія

Розглянемо операторний рівняння загального вигляду

Au = f або в іншій формі Au - f = 0. (28)

Замінимо оператор A різницевим оператором Ah. праву частину f - деякої гратчастої функцією jh. а точне рішення u - різницевим рішенням y. тоді можна записати різницеве ​​схему виду:

Якщо в (29) підставити точне рішення u. то воно, взагалі кажучи, не буде задовольняти рівняння, тобто Ah u ¹ jh. величину

прийнято називати нев'язкої. Для її оцінки зазвичай використовують розкладання в ряд Тейлора.

Знайдемо невязку для явної різницевої схеми (26). Перепишемо вихідне рівняння теплопровідності (22) у формі (28)

Оскільки f = jh = 0, остільки

Розкладемо рішення u за формулою Тейлора в околиці вузла (tm, xn), вважаючи що за часом існує друга безперервна похідна, а по простору - четверта безперервна похідна, тоді

де,,. Підставляючи (31) в (30) і нехтуючи відмінністю величин, і від tm і xn. знаходимо підсумкову оцінку невязки

Згідно (32), невязка прагне до нуля при t ® 0 і h ® 0. Оцінка (32) дає оцінку невязки в регулярних вузлах сітки. Згідно (23), (25), граничні умови виконуються точно, тобто .

Оцінку невязки (32) можна поліпшити в такий спосіб. Знайдемо utt відповідно до наступної послідовності викладок

Підставляючи (33) в (32), отримаємо

Відповідно до формули (34) можна покласти, що, тоді головний член невязки (34) звернутися в нуль і залишаться члени вищого порядку малості. Такий прийом використовується для отримання різницевих схем підвищеного порядку точності.