Нескінченно велика і нескінченно мала послідовності, їх властивості

Визначення 1. Якщо кожному значенню n з безлічі натуральних чисел ставиться у відповідність за певним законом деяке дійсне число. то безліч занумерованих дійсних чисел називається числовою послідовністю.

- члени послідовності, - скорочений запис послідовності. Наприклад,.

Визначення 2. Нехай дано дві послідовності і. Послідовності називаються відповідно сумою, різницею, твором і приватним послідовностей і.

Визначення 3. Послідовність називається обмеженою. якщо безліч її членів обмежена, тобто існує число. таке, що. Послідовність називається обмеженою зверху (знизу). якщо існує число М. таке, що.

Якщо послідовність необмежена, то для будь-якого числа знайдеться номер n такий, що. Ясно, що якщо послідовність обмежена тільки знизу або тільки зверху, то вона необмежена. Серед необмежених послідовностей виберемо нескінченно великі послідовності.

Визначення 4. Послідовність називається нескінченно великою. якщо для будь-якого знайдеться номер N. такий, що для всіх.

Будь-яка нескінченно велика послідовність необмежена, але не всяка необмежена послідовність нескінченно велика. Прикладом цього може служити послідовність.

Визначення 5. Послідовність називається нескінченно малою. якщо для будь-якого знайдеться номер N. такий, що для всіх.

Встановимо основні властивості нескінченно малих послідовностей.

Теорема 1. Сума двох нескінченно малих послідовностей є нескінченно мала послідовність.

Доведення. Нехай і - нескінченно малі послідовності. Візьмемо довільно і покладемо. За визначенням 5 для знайдуться номери і. такі, що для всіх і для всіх. Покладемо. Тоді для всіх і за визначенням 5 послідовність нескінченно мала. Теорема доведена.

Теорема 2. Різниця двох нескінченно малих послідовностей є нескінченно мала послідовність.

Слідство. Алгебраїчна сума будь-якого кінцевого числа нескінченно малих послідовностей є нескінченно мала послідовність.

Теорема 3. Твір обмеженою послідовності на нескінченно малу послідовність є нескінченно мала послідовність.

(Можна доручити студентам довести теореми 2, 3 і наслідок самостійно).

Теорема 4. Всяка нескінченно мала послідовність обмежена.

Доведення. Нехай - нескінченно мала послідовність. Покладемо. За визначенням 5 знайдеться номер N. такий, що для всіх. Позначимо. Тоді для всіх n. Теорема доведена.

Слідство теорем 3 і 4. Твір двох (любої скінченної кількості) нескінченно малих послідовностей є нескінченно мала послідовність.

Теорема 5. Якщо всі члени нескінченно малої послідовності дорівнюють одному і тому ж числу с. то.

Доведення. Припустимо гидке, тобто що. Візьмемо. За визначенням 5 знайдеться номер N. такий, що для всіх. тобто для всіх . а цього не може бути, тому що для всіх n. Протиріччя доводить твердження теореми.

Теорема 6. Якщо - нескінченно велика послідовність, то - нескінченно мала послідовність.

Доведення. Візьмемо довільно і покладемо. Тоді за визначенням 4 знайдеться номер N. такий, що для всіх значень. Звідси для всіх. тобто - нескінченно мала послідовність по визначенню 5. Теорема доведена.

Теорема 7. Якщо - нескінченно мала послідовність і всі члени цієї послідовності відмінні від нуля, то послідовність - нескінченно велика (довести самостійно).