Необхідна ознака збіжності

Визначення. Числовим рядом називається вираз

.

Числа u1; u2; u3; ...; un; ... називаються членами числового ряду, а

- загальним членом ряду.

Визначення. Сума перших n членів ряду називається n -ої часткової сумою ряду і позначається Sn. тобто

Зокрема: S1 = u1, S2 = u1 + u2, S3 = u1 + u2 + u3 і т.д. Часткові суми ряду утворюють числову послідовність

.

Визначення. Сумою S числового ряду називають межа послідовності його часткових сум

при необмеженому збільшенні номера часічних сум

.

Числовий ряд називають збіжним. якщо він має суму (в цьому випадку існує кінцевий межа послідовності чистячі сум ряду) і розходяться. якщо така не існує (

не існує). Якщо числовий ряд сходиться, то, природно він має суму.

Якщо числовий ряд

сходиться, то межа його загального члена обов'язково дорівнює нулю, тобто.

Наведений ознака збіжності слід розуміти так:

якщо

, то рядрозходиться точно, але,

якщо

, то рядможе сходитися, але може і розходитися.

Достатні ознаки збіжності знакоположітельних рядів

Ознака порівняння 1

Нехай дано два знакоположітельних ряду

причому члени ряду (1) не перевищують відповідних членів ряду (2) принаймні, починаючи з деякого номера n = N. тобто

для всіх.

з збіжність ряду (2) завжди слід збіжність і ряду (1),

з розбіжність ряду (1) завжди слід і расхоімость ряду (2).

Ознака порівняння 2 (граничний)

Якщо існує кінцевий, відмінний від нуля межа відносини

, то обидва ряди (1) і (2) одночасно або сходяться, або розходяться.

При застосуванні ознаки порівняння даний ряд зіставляється з одним з, так званих, еталонних рядів, збіжність чи розбіжність яких встановлена.

еталонні ряди

:

Узагальнений гармонійний ряд

:

Зокрема, при k = 1 отримуємо