Необхідна ознака збіжності ряду
Необхідна ознака збіжності ряду: Ряд може сходитися лише в тому випадку, якщо його загальний член прямує до 0 при n
Достатній ознака розбіжність ряду. Якщо ж загальний член не прагне до 0 => ряд розходиться
Застереження: необхідна умова = 0 недостатньо для збіжності ряду. Ряд у якого. може сходитися, а може і розходитися.
Приклад 1. Ряд 0,4 + 0,44 + 0,444 + 0,4444 + ...
розходиться, тому що загальний член не прагне до 0.
Приклад 2. Ряд 1-1 + 1-1 + ...
розходиться тому загальний член = не прагне до 0.
І взагалі не має меж.
Приклад 3. Ряд розходиться, тому що
5) Ряд + ... + називається гармонійним рядом і є розбіжним поруч, тому що послідовність його часткових сум необмежено зростає.
Тобто необхідний ознака збіжності не дає можливості судити про те, чи сходиться даний ряд чи ні. Збіжність і розбіжність ряду в багатьох випадках можна встановити за допомогою достатніх ознак збіжності.
Розглянемо деякі з них для знакоположітельних рядів, тобто для рядів з невід'ємними членами (знакоотріцательний ряд переходить в знакоположітельний шляхом множення його на (-1), що не впливає на збіжність ряду).
Достатні ознаки збіжності
Ознака порівняння рядів
Збіжність або розбіжність знакоположітельного ряду часто встановлюється шляхом порівняння його з іншим ( «еталонним») поруч, про який відомо, сходиться він чи ні.
Часто «еталонними» рядами є:
а) гармонійний ряд - розходиться або
б) геометрична прогресія:.
· Якщо ряд сходиться
· Якщо ряд розходиться
· Якщо ряд розходиться
Можна розписати так:
=> Це ряд геометричної прогресії, де a =
q = => цей ряд сходиться.
Теорема. Нехай дано два знакоположітельних ряду
Якщо для всіх n виконується нерівність => з збіжності другого ряду слід збіжність першого ряду, з розбіжність ряду першого слід расходимость ряду другого.
1) Дослідити на збіжність ряд
Порівняємо даний ряд з рядом
-ряд геометричній прогресії, який є збіжним, тому що q =
Оскільки => Даний ряд сходиться.
2) Дослідити на збіжність ряд:
Порівняємо даний ряд з гармонійним рядом:
1+ -ряд розходиться
Оскільки кожен => даний ряд розходиться
3) Дослідити на збіжність ряд
Порівняємо з рядом геометричної прогресії:
. який сходиться (q =
Оскільки => Даний ряд сходиться
4) Відповідність ряду: 1+
Порівняти з рядом геометричної прогресії
Теорема: Нехай дано знакоположітельний ряд + ... і існує кінцевий або нескінченний межа
Тоді ряд сходиться при <1; и расходится при>1
(При = 1 питання про збіжність залишається невирішеним)
(Ознака Даламбера доцільно застосувати, коли загальний член ряду містить n! Або)
1) Дослідити на збіжність ряд
= => L = 0<1 =>даний ряд за ознакою Даламбера сходиться.
L = 3> 1 => ряд за ознакою Даламбера розходиться.
Ознака Коші (радикальний):
Нехай дано ряд
Якщо q> 1, то ряд розходиться.
якщо q<1, то ряд сходится.
Ознака Лейбніца (для Знакозмінні ряду):
Ряд сходиться, якщо виконуються дві умови:
1) елементи ряду по абсолютній величині монотонно зменшуються;
2) межа загального члена ряду дорівнює нулю.
Статечним рядом називається ряд виду
Щоб знайти інтервал збіжності статечного ряду треба:
1) застосувати ознака Даламбера або Коші до ряду, складеного з модулів;
2) дослідити збіжність ряду на кінцях інтервалу.
Приклад 1.Ісследовать на збіжність ряд
Т. к.
Приклад 2. Дослідити на збіжність ряд
Т. к.
Приклад 3. Дослідити на збіжність ряд
Оскільки
Приклад 4. Користуючись ознакою Лейбніца, досліджувати на збіжність ряд
Так як члени даного ряду по абсолютній величині монотонно
зменшуються
Приклад 5.Ісследовать на абсолютну і умовну збіжність ряди:
а) Розглянемо ряд, складений з абсолютних величин
За ознакою Даламбера цей ряд сходиться, тому що
Таким чином ряд розходиться абсолютно.
б) Ряд, складений з абсолютних величин членів даного ряду
Отже, вихідний ряд не є абсолютно збіжним.
Досліджуємо його на умовну збіжність.
ряд
Отже, даний ряд сходиться умовно.
Приклад 6. Знайти область збіжності статечного ряду
Розглянемо ряд, складений з абсолютних величин
За ознакою Даламбера
Розглянемо нерівність
Досліджуємо збіжність ряду на кінцях проміжку.
При x = -3 отримаємо ряд:
При x = -3 отримаємо ряд:
Отже, інтервалом збіжності даного ряду є проміжок
Дослідити на збіжність ряди: