Напівправильні багатогранники - студопедія

Напівправильні багатогранники є природним розширенням правильних багатогранників. Це опуклі багатогранники, гранями яких є правильні багатокутники, - можливо, з різним числом сторін, і в кожній вершині сходиться однакове число граней. Більшість з них були відкриті ще Архімедом. Але відкривалися вони і в ХХ столітті.

Найпростіші з багатогранників Архімеда виходять з правильних багатогранників операцією «усічення», що складається в відсіканні площинами кутів багатогранника. Так, якщо зрізати кути тетраедра площинами, кожна з яких відсікає третю частину його ребер, що виходять з однієї вершини, то отримаємо усічений тетраедр. має вісім граней (рис.1). З них чотири - правильні шестикутники і чотири - правильні трикутники. У кожній вершині цього багатогранника сходиться три грані.

Якщо зазначеним чином зрізати верхівки октаедра і ікосаедра, то отримаємо відповідно усічений октаедр (рис.2) і усічений ікосаедр (рис.3). Зверніть увагу на те. що поверхня футбольного м'яча виготовляють у формі поверхні усіченого ікосаедра. З куба і додекаедра також можна отримати усічений куб (рис.4) і усічений додекаедр (рис.5).

Для того, щоб отримати ще один правильний багатогранник, проведемо в кубі відсікають площині через середини ребер, що виходять з однієї вершини. В результаті отримаємо Напівправильні багатогранник, який називається кубооктаедр (рис.6). Його гранями є шість квадратів, як у куба, і вісім правильних трикутників, як у октаедра. Звідси і назва - кубооктаедр.

Аналогічно, якщо в додекаедрів відсікають площині провести через середини ребер, що виходять з однієї вершини, то отримаємо багатогранник, який називається ікосододекаедр (рис.7). У нього двадцять граней - правильні трикутники і дванадцять граней - правильні п'ятикутник, тобто всі грані ікосаедра і Додекаедр.

Ще два багатогранника називаються усічений кубооктаедр (рис.8) і усічений ікосододекаедр (рис.9), хоча їх не можна отримати урізанням кубооктаедра і ікосододекаедр. Відсікання кутів цих багатогранників дає не квадрати, а прямокутники.

Ми розглянули 9 з 13 описаних Архімедом напівправильних багатогранників. Чотири залишилися - багатогранники більш складного типу.

На малюнку 10 ми бачимо ромбокубооктаедр. Його поверхня складається з граней куба і октаедра, до яких додані ще 12 квадратів.

На малюнку 11 зображено ромбоікосододекаедр, поверхня якого складається з граней ікосаедра, додекаедра і ще 30 квадратів. На малюнках 12, 13 представлені так звані плосконосий (кирпатий) куб і плосконосий (кирпатий) додекаедр, поверхні яких складаються з граней куба або додекаедру, оточених правильними трикутниками.

Крім цих тринадцяти тел Архімеда в число напівправильних багатогранників включається 14-й багатогранник, званий псевдоархімедовим (рис.14). Він виходить з ромбокубооктаедр поворотом нижньої чаші на 45º.

Звичайно, еcли у визначенні Напівправильні багатогранника послабити друга умова, то можна знайти і інші багатогранники задовольняють цим визначенням. По крайней мере, є ще п'ять багатогранників, одержуваних поворотом їх частин.

Так, якщо повернути нижню або верхню чашу ікосододекаедр на 36 °, то отримаємо новий багатогранник, гранями якого є правильні п'ятикутник і трикутники і в кожній вершині сходиться чотири ребра.

Повертаючи чаші ромбоікосододекаедра можна отримати ще чотири багатогранника, гранями яких є квадрати і правильні п'ятикутник і трикутники, а в кожній вершині сходиться чотири ребра.

Яке ж визначення Напівправильні багатогранника правильне? Яке визначення мав на увазі Архідам, який окреслив тринадцять напівправильних багатогранників? Чи знав він про псевдоархімедовом тілі або не здогадався, що можна повернути чашу кубооктаедра? На жаль, визначення Напівправильні багатогранника, яким користувався Архімед, не дійшло до нас. Мабуть, Архімед не рахував псевдоархімедов багатогранник Напівправильні многогранником.

Дійсно, за зовнішнім виглядом псевдоархімедов багатогранник не такий «правильний», як багатогранники Архімеда. Але чим же визначається «правильність»?

Уявімо Напівправильні багатогранник, зроблений з прозорого матеріалу, і подивимося крізь одну n-вугільну грань. Ми побачимо інші грані, розташовані в певному порядку. Точно таку ж картину ми побачимо, якщо поглянемо крізь іншу n-вугільну грань цього багатогранника. Цією властивістю володіють всі напівправильні багатогранники, а псевдоархімедов багатогранник - немає. Якщо подивитися крізь верхню квадратну грань і крізь бічну квадратну грань, то ми побачимо різні розташування інших граней.

З математичної точки зору правильність визначається наявністю симетрій, тобто рухів, які переводять багатогранник сам в себе.

Для тел Архімеда виконується наступна властивість: для будь-яких двох вершин існує симетрія, при якій одна вершина переходить в іншу. Це означає, що не тільки всі багатогранні кути одно, але що для будь-яких двох багатогранних кутів існує рух багатогранника, що переводить один з них в інший. Звичайно, це більш сильне умова, ніж просто рівність багатогранних кутів. Цій умові не задовольняє псевдоархімедов багатогранник.

Таким чином, є три варіанти визначення Напівправильні багатогранника.

Визначення 1. Напівправильні многогранником називається опуклий багатогранник, поверхня якого складається з правильних багатокутників, - можливо, з різним числом сторін - і в кожній вершині однакове число ребер. У цьому випадку, крім двох нескінченних серій призм і антипризми, є принаймні 19 таких багатогранників.

Визначення 2. Напівправильні многогранником називається опуклий багатогранник, поверхня якого складається з правильних багатокутників, - можливо, з різним числом сторін, - і всі ці багатогранні кути рівні. У цьому випадку, крім двох нескінченних серій призм і антипризми, є 14 таких багатогранників - 13 тел Архімеда і псевдоархімедов багатогранник.

Визначення 3. Напівправильні многогранником називається опуклий багатогранник, поверхня якого складається з правильних багатокутників, - можливо, з різним числом сторін, - і для будь-яких двох вершин існує симетрія багатогранника, яка переводить одну з них в іншу. У цьому випадку, крім двох нескінченних серій, є 13 таких багатогранників - багатогранників Архімеда.

Можна припустити, що Архімед користувався саме третім визначенням. [9]