Найменше спільне кратне нок

Будь-яке натуральне число завжди ділиться на 1 і на саме себе. Число 2 - найменше просте число. Це єдине парне просте число. інші прості числа - непарні.

Простих чисел багато, і перше серед них - число 2. Однак немає останнього простого числа.

Але багато натуральні числа діляться без остачі ще й на інші натуральні числа.

- число 12 ділиться на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12;

- число 36 ділиться на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12, на 18, на 36.

Числа, на які число ділиться без остачі (для 12 це 1, 2, 3, 4, 6 і 12) називаються дільниками числа. Дільник натурального числа a - це таке натуральне число, яке ділить дане число a без залишку. Натуральне число, яке має більше двох дільників, називається складовим.

Зверніть увагу, що числа 12 і 36 мають спільні дільники. Це числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Найбільший з подільників цих чисел - 12. Загальний дільник двох даних чисел a і b - це число, на яке діляться без залишку обидва даних числа a і b.

Загальним кратним декількох чисел називається число, яке ділиться на кожне з цих чисел. Наприклад. числа 9, 18 і 45 мають спільне кратне 180. Але 90 і 360 - теж їх загальні кратні. Серед всіх jбщіх кратних завжди є найменше, в даному випадку це 90. Це число називається наіменьшімобщім кратним (НОК).

НОК завжди натуральне число, яке повинно бути більше найбільшого з чисел, для яких воно визначається.

Найменше спільне кратне (НОК). Властивості.

- Зокрема, якщо і - взаємно-прості числа. то:

- Найменше спільне кратне двох цілих чисел m і n є дільником всіх інших загальних кратних m і n. Більш того, безліч загальних кратних m, n збігається з безліччю кратних для НОК (m, n).

- Асимптотики для можуть бути виражені через деякі теоретико-числові функції.

Так, функція Чебишева. А також:

- .

Це випливає з визначення і властивостей функції Ландау g (n).

- , що випливає з закону розподілу простих чисел.

Знаходження найменшого спільного кратного (НОК).

НОК (a, b) можна обчислити декількома способами:

1. Якщо відомий найбільший спільний дільник. можна використовувати його зв'язок з НОК:

2. Нехай відомо канонічний розклад обох чисел на прості множники:

де p1. pk - різні прості числа, а d1. dk і e1. ek - невід'ємні цілі числа (вони можуть бути нулями, якщо відповідне просте відсутній в розкладанні).

Тоді НОК (a, b) обчислюється за формулою:

Іншими словами, розкладання НОК містить всі прості множники. що входять хоча б в одне з розкладів чисел a, b. причому з двох показників ступеня цього множника береться найбільший.

Обчислення найменшого спільного кратного кількох чисел може бути зведено до кількох послідовним обчисленням НОК від двох чисел:

Правило. Щоб знайти НОК ряду чисел, потрібно:

- розкласти числа на прості множники;

- перенести у множники шуканого твори найбільше розкладання (твір множників найбільшого числа із заданих), а потім додати множники з розкладання інших чисел, які не зустрічаються в першому числі чи стоять в ньому менше число раз;

- отримане твір простих множників буде НОК заданих чисел.

Будь-які два і більше натуральних чисел мають своє НОК. Якщо числа не кратні один одному або не мають однакових множників в розкладанні, то їх НОК дорівнює добутку цих чисел.

Прості множники числа 28 (2, 2, 7) доповнили множником 3 (числа 21), отримане твір (84) буде найменшим числом, яке ділиться на 21 і 28.

Прості множники найбільшого числа 30 доповнили множником 5 числа 25, отримане твір 150 більше найбільшого числа 30 і ділиться на всі задані числа без залишку. Це найменше твір з можливих (150, 250, 300.), якому кратні всі задані числа.

Числа 2,3,11,37 - прості, тому їх НОК дорівнює добутку заданих чисел.

Правило. Щоб обчислити НОК простих чисел, потрібно всі ці числа перемножити між собою.

Ще один варіант:

Щоб знайти найменше спільне кратне (НОК) кількох чисел потрібно:

1) подати кожне число як добуток його простих множників, наприклад:

504 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7,

2) записати ступеня всіх простих множників:

504 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7 = 2 3 · 3 2 · 7 1,

3) виписати всі прості дільники (множники) кожного з цих чисел;

4) вибрати найбільшу ступінь кожного з них, що зустрілася у всіх розкладах цих чисел;

5) перемножити ці ступеня.

Приклад. Знайти НОК чисел: 168, 180 і 3024.

Рішення. 168 = 2 · 2 · 2 · 3 · 7 = 2 3 · 3 1 × 7 1,

180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 2 2 · 3 2 · 5 1,

3024 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 7 = 2 4 · 3 3 · 7 1.

Виписуємо найбільші ступеня всіх простих дільників і перемножуємо їх:

НОК = 2 4 • 3 3 · 5 1 × 7 +1 = 15120.