Наближені числа і дії над ними

1. Наближене значення величини. Абсолютна і відносна похибки

2. Вірні і значущі цифри. Запис наближених значень.

3. Обчислення похибок величин і арифметичних дій

4. Методи оцінки похибки наближених обчислень

1. Наближене значення величини. Абсолютна і відносна похибки

Рішення практичних завдань, як правило, пов'язане з числовими значеннями величин. Ці значення виходять або в результаті вимірювання, або в результаті обчислень. У більшості випадків значення величин, якими доводиться оперувати, є наближеними.

Нехай X - точне значення деякої величини, а х - найкраще з відомих її наближених значень. В цьому випадку похибка (або помилка) наближення х визначається різницею Х-х. Зазвичай знак цієї помилки не має вирішального значення, тому розглядають її абсолютну величину:

Величина ех, звана абсолютною похибкою наближеного значення х. в більшості випадків залишається невідомою, так як для її обчислення потрібно точне значення X. Разом з тим, на практиці зазвичай вдається встановити верхню межу абсолютної похибки, тобто таке (по можливості найменше) число для якого справедливо нерівність

Число в цьому випадку називається граничною абсолютною похибкою, або кордоном абсолютної похибки наближення х.

Таким чином, гранична абсолютна похибка наближеного числа х - це будь-яке число. Не менше абсолютної похибки ех цього числа.

Приклад: Візьмемо число. Якщо ж викликати на індикатор 8-розрядного МК, отримаємо наближення цього числа: Спробуємо висловити абсолютну похибка значення. Отримали нескінченну дріб, що не придатну для практичних розрахунків. Очевидно, однак, що отже, число 0,00000006 = 0,6 * 10 -7 можна вважати граничною абсолютною похибкою наближення. використовуваного МК замість числа

Нерівність (2) дозволяє встановити наближення до точного значення X через брак і надлишку:

які можуть розглядатися як одна з можливих пар значень відповідно нижньої межі (НГ) і верхньої межі (ВГ) наближення х:

У багатьох випадках значення межі абсолютної помилки так само як і найкращі значення наближення х, виходять на практиці в результаті вимірів. Нехай, наприклад, в результаті повторних вимірів однієї і тієї ж величини х отримані значення: 5,2; 5,3; 5,4; 5,3. В цьому випадку природно прийняти за найкраще наближення вимірюваної величини середнє значення х = 5,3. Очевидно також, що граничними значеннями величини х в даному випадку будуть НГХ = 5,2, ВГХ = 5,4, а межа абсолютної похибки х може бути визначена як половина довжини інтервалу, утвореного граничними значеннями НГХ і ВГХ,

За абсолютної похибки не можна в повній мірі судити про точність вимірювань або обчислень. Якість наближення характеризується величиною відносної похибки, яка визначається як відношення помилки ех до модулю значення X (коли воно невідомо, то до модуля наближення х).

Граничною відносною похибкою (або кордоном відносної похибки) наближеного числа називається відношення граничної абсолютної похибки до абсолютним значенням наближення х:

Формула (5) дозволяє при необхідності висловлювати абсо-лютні похибка через відносну:

Відносну похибку висловлюють зазвичай у відсотках.

Приклад Визначимо граничні похибки числа х = 3,14 як наближеного значення π. Так як π = 3,1415926 .... то | π-3,14 |<0,0015927<0,0016= по формуле связи получаем таким образом

2. Вірні і значущі цифри. Запис наближених значень

Цифра числа називається вірною (в широкому сенсі), якщо її абсолютна похибка не перевищує одиниці розряду, вкотором коштує ця цифра.

Приклад. Х = 6,328 Х = 0,0007 X<0,001 следовательно цифра 8-верная

Приклад: А). Нехай 0 = 2,91385, В числі а вірні в широкому сенсі цифри 2, 9, 1.

Б) Візьмемо в якості наближення до числа = 3,141592. число = 3,142. Тоді (рис.) Звідки випливає, що в наближеному значенні = 3,142 все цифри є вір-ними.

В) Обчислимо на 8-розрядному МК приватне точних чисел 3,2 і 2,3, отримаємо відповідь: 1,3913043. Відповідь містить помилку, оскільки

Мал. Наближення числа π

розрядна сітка МК не разом всіх цифр результату і все розряди починаючи з восьмого були опущені. (В тому, що відповідь неточний, легко переконатися, перевіривши розподіл множенням: 1,3913043 2,3 = 3,9999998.) Не знаючи істинного значення допущеної помилки, обчислювач в подібній ситуації завжди може бути впевнений, що її величина не перевищує одиниці самого молодшого із зображених на індикаторі розряду результату. Отже, в отриманому результаті все цифри вірні.

Перша відкинута (невірна) цифра часто називається сумнівною.

Кажуть, що наближене дане записано правильно, якщо в його записи все цифри вірні. Якщо число записано правильно, то по одній тільки його записи у вигляді десяткового дробу можна судити про точність цього числа. Нехай, наприклад, записано наближене число а = 16,784, в якому всі цифри вірні. З того, що вірна остання цифра 4, яка стоїть в розряді тисячних, слід, що абсолютна похибка значення а не перевищує 0,001. Це означає, що можна прийняти тобто а = 16,784 ± 0,001.

Очевидно, що правильна запис наближених даних не тільки допускає, але і зобов'язує виписувати нулі в останніх розрядах, якщо ці нулі є виразом вірних цифр. Наприклад, у записі = 109,070 нуль в кінці означає, що цифра в розряді тисячних вірна і вона дорівнює нулю. Граничною абсолютною похибкою значення, як випливає із запису, можна вважати Для порівняння можна помітити, що значення з = 109,07 є менш точним, так як з його записи доводиться прийняти, що

Значущими цифрами в запису числа називаються всі цифри в його десятковому зображенні, відмінні від нуля, і нулі, якщо вони розташовані між значущими цифрами або стоять в кінці для вираження вірних знаків.

Приклад а) 0,2409 - чотири значущі цифри; б) 24,09 - чотири значущі цифри; в) 100,700 - шість значущих цифр.

Видача числових значень в ЕОМ, як правило, влаштована таким чином, що нулі в кінці запису числа, навіть якщо вони вірні, не повідомляються. Це означає, що якщо, наприклад, ЕОМ показує результат 247,064 і в той же час відомо, що в цьому результаті вірними повинні бути вісім значущих цифр, то отриманий відповідь слід доповнити нулями: 247,06400.

В процесі обчислень часто відбувається округлення чисел, тобто заміна чисел їх значеннями з меншою кількістю значущих цифр. При округленні виникає похибка, яка називається похибкою округлення. Нехай х -Даний число, а х1 - результат округлення. Похибка округлення визначається як модуль різниці колишнього і нового значень числа:

В окремих випадках замість # 8710; окр доводиться використовувати його верхню оцінку.

Приклад Виконаємо на 8-розрядному МК дію 1/6. На індикаторі висвітиться число 0,1666666. Сталося автоматичне округлення нескінченного десяткового дробу 0,1 (6) до числа розрядів, що вміщаються в регістрі МК. При цьому можна прийняти

Цифра числа називається вірною в строгому сенсі, якщо абсолютна похибка цього числа не перевищує половини одиниці розряду, в якому стоїть ця цифра.