На малюнку зображений графік деякої функції
Привіт, друзі! У цій статті розглянемо з вами завдання на первісну. Ці завдання входять в ЄДІ з математики. Незважаючи на те, що самі розділи - диференціювання та інтегрування досить ємні в курсі алгебри і вимагають відповідального підходу до розуміння, але самі завдання, які входять у відкритий банк завдань з математики і будуть на ЄДІ надзвичайно прості і вирішуються в одно-два дії.
Важливо зрозуміти саме суть первісної і зокрема геометричний сенс інтеграла. Розглянемо коротко теоретичні основи.
Геометричний сенс інтеграла
Коротко про інтеграл можна сказати так: інтеграл - це площа.
Визначення: Нехай на координатної площині дано графік позитивної функції f, заданої на відрізку [a; b]. Подграфіком (або криволінійної трапецією) називається фігура, обмежена графіком функції f, прямими х = а і х = b і віссю абсцис.
Визначення: Нехай дана позитивна функція f, визначена на кінцевому відрізку [a; b]. Інтегралом від функції f на відрізку [a; b] називається площа її подграфіка.
Інтегрування є операцією зворотного диференціювання. Обчислення інтеграла зводиться до знаходження функції, похідна якої дорівнює заданій функції.
Визначення: функцію F (x) називають первісною для функції f (х) на заданому проміжку, якщо для всіх х з цього проміжку виконується рівність
Можна прочитати двома способами:
f похідна функції F
F первісна для функції f
Для позначення первісної використовують знак невизначеного інтеграла, тобто інтеграла без вказівки меж інтегрування:
Теорема (Ньютона-Лейбніца): Нехай f (х) дана функція, F її довільна первісна. тоді
Тобто, інтеграл функції f (x) на інтервалі [a; b] дорівнює різниці первісних в точках b і a.
Це короткий виклад теоретичних основ. Є ще властивості інтеграла, поняття інтегральних сум та інше. Повне розуміння теми вимагає глибокого проникнення в неї. Але те, що буде потрібно при вирішенні простих завдань представлено вище.
Рекомендую повторити властивості похідної для дослідження графіків функції, їх розуміння також необхідно при вирішенні деяких завдань на первісну.
На малюнку зображений графік функції y = F (x) - однієї з первісних деякої функції f (x), визначеної на інтервалі (-3; 5). Користуючись малюнком, визначте кількість рішень рівняння f (x) = 0 на відрізку [-2; 4].
Як уже сказано F '(x) = f (x). Який можемо зробити висновок?
Він простий. Нам потрібно визначити скільки є точок на даному графіку, в яких F '(x) = 0. Ми знаємо, що похідна дорівнює нулю в тих точках, де дотична до графіка функції паралельна осі ох. Покажемо ці точки на інтервалі [-2; 4]:
Це точки екстремуму даної функції F (x). Їх десять.
323078. На малюнку зображений графік деякої функції y = f (x) (два промені з загальною початковою точкою). Користуючись малюнком, обчисліть F (8) - F (2), де F (x) - одна з первісних функції f (x).
Ще раз запишемо теорему Ньютона-Лейбніца: Нехай f дана функція, F її довільна первісна. тоді
Тобто, нам необхідно знайти:
А це, як уже сказано, є площа подграфіка функції.
Таким чином, завдання зводиться до знаходження площі трапеції (інтервал від 2 до 8):
Її неважко вирахувати по клітинам. Отримуємо 7. Знак позитивний, так як фігура розташована вище осі ох (або в позитивній півплощини осі оу).
Ще в даному випадку можна було сказати так: різниця значень первісних в точках є площа фігури.
323079. На малюнку зображений графік деякої функції y = f (x). Функція F (x) = x 3 + 30x 2 + 302x-1,875 - одна з первісних функції y = f (x). Знайдіть площу зафарбованою фігури.
Як уже сказано про геометричному сенсі інтеграла це є площа фігури обмеженою графіком функції f (x), прямими х = а і х = b і віссю ox.
Таким чином, завдання зводиться до обчислення певного інтеграла даної функції на інтервалі від -11 до -9, або іншими словами нам необхідно знайти різницю значень первісних обчислених в зазначених точках:
323080. На малюнку зображений графік деякої функції y = f (x).
Функція F (x) = -x 3 -27x 2 -240x- 8 - одна з первісних функції f (x). Знайдіть площу зафарбованою фігури.
Завдання зводиться до обчислення певного інтеграла даної функції на інтервалі від -10 до -8:
Ще одне рішення даного завдання, з сайту ВИРІШУ ЄДІ.
Знайдемо формулу, що задає функцію f (x) графік якої зображено на малюнку.
Отже, графік функції f (x) отримано зрушенням графіка функції у = 3 - 3х 2 на 9 одиниць вліво вздовж осі абсцис. Тому шукана площа фігури дорівнює площі фігури, обмеженої графіком функції у = 3 - 3х 2 і відрізком [-1; 1] осі абсцис. маємо:
Звичайно, цей спосіб вимагає: грунтовно знання правил диференціювання, властивостей інтеграла, таблиці похідних, таблиці інтегралів, вміння виділяти неповний квадрат; володіння прийомами перетворень графіків і, звичайно, повинна бути хороша практика.
Таблиці похідних і інтегралів ви можете подивитися.
Похідні і правила диференціювання ще є в цій статті. Знати їх потрібно обов'язково, не тільки для вирішення таких завдань.
У цій рубриці продовжимо розглядати завдання, не пропустіть!
Також можете подивитися довідкову інформацію на сайті тут і тут.
Подивіться невеликий ролик, це уривок з фільму «Невидима сторона». Можна сказати, що це фільм про навчання, про милосердя, про важливість нібито «випадкових» зустрічей в нашому житті. Але цих слів буде недостатньо, рекомендую подивитися сам фільм, дуже рекомендую.
З повагою, Олександр Крутицький