Можливим переміщенням точки матеріальної системи будемо називати її нескінченно мале переміщення,

Лекція 8. Принцип можливих переміщень і загальне рівняння динаміки.

У даній лекції розглядаються наступні питання:

1. Можливі переміщення. Класифікація зв'язків.

2. Принцип можливих переміщень при рівновазі матеріальної системи. Загальне рівняння статики.

3. Принцип можливих переміщень при русі матеріальної системи. Загальне рівняння динаміки

4. Узагальнені координати.

5. Узагальнені сили.

6. Рівняння рівноваги Лагранжа.

7. Узагальнені сили інерції.

8. Рівняння Лагранжа.

Вивчення даних питань необхідно для вивчення демпферів в дисципліні «Деталі машин», для вирішення завдань в дисциплінах «Теорія машин і механізмів» і «Опір матеріалів».

Можливі переміщення. Класифікація зв'язків.

При вивченні рівноваги системи тел методами так званої геометричної статики доводиться розглядати рівновагу кожного з тіл окремо, замінюючи накладені зв'язку відповідними наперед невідомими реакціями. Коли число тел в системі велике, цей шлях стає дуже громіздким і пов'язаний з необхідністю вирішувати велику кількість рівнянь з багатьма невідомими.

Відмітна особливість методу, що випливає з принципу можливих переміщень, полягає в тому, що при його застосуванні ефект дії зв'язків враховується не шляхом введення невідомих наперед реакцій, а шляхом розгляду переміщень, які можна повідомити точкам системи, якщо вивести систему із займаного нею положення. Ці переміщення називають в механіці возможниміперемещеніямі.

Розглянемо можливі переміщення точки М на стрижні, прикріпленому до нерухомої поверхні шарніром О (рис.2, а). Звичайно, стрижень дозволяє точці рухатися по сферичної поверхні в будь-якому напрямку і на будь-яку відстань. Всі ці переміщення можливі. Можливо, до речі, переміщення і вниз. Але таке переміщення не варто називати можливим, тому що порушується зв'язок, стрижень.

Крім того, можливим переміщенням будемо називати тільки мале переміщення, настільки малу частину траєкторії, що її можна замінити прямий, відрізком дотичної.

Тепер можна сформулювати визначення можливого переміщення.

Можливим переміщенням точки матеріальної системи будемо називати її нескінченно мале переміщення, що допускається зв'язками цієї системи.

Можливі переміщення точок системи повинні задовольняти двом умовам:

1) вони повинні бути нескінченно малими, так як при кінцевих переміщеннях система перейде в інше положення, де умови рівноваги можуть бути іншими;

2) вони повинні бути такими, щоб при цьому всі накладені на систему зв'язку зберігалися, бо інакше ми змінимо, вид розглянутої механічної системи (сістемастанет інший).

Наприклад, для кривошипно-шатунного механізму, зображеного на рис.1 переміщення точок кривошипа ОА в положення ОА1 не можна розглядати як можливе, так як в цьому положенні умови рівноваги механізму під дією сил і будуть вже іншими. Точно так же не можна вважати за можливе навіть нескінченно мале переміщення точки В шатуна вздовж лінії BD; воно було б можливим, якщо в точці В замість повзуна була б коливається муфта, тобто коли механізм був би іншим.

Таким чином, можливим переміщенням системи ми будемо називати будь-яку сукупність нескінченно малих переміщень точок системи, що допускаються в даний момент усіма накладеними на систему зв'язками. Можливе переміщення будь-якої точки системи будемо зображати елементарним вектором. спрямованим в бік переміщення.

У загальному випадку для точок і тіл системи може існувати безліч можливих різних переміщень (переміщення і ми не вважаємо різними). Однак для кожної системи, в залежності від характеру накладених на неї зв'язків, можна вказати певне число таких незалежних між собою переміщень, що будь-яке інше можливе переміщення буде виходити як геометрична сума. Наприклад, кулька, що лежить на який-небудь площині (або поверхні), можна перемістити уздовж цієї площини по безлічі напрямків. Однак будь-яке його можливе переміщення можна отримати як суму двох переміщень і вздовж лежать в цій площині взаємно перпендикулярних осей ().

Число незалежних між собою можливих переміщень системи називається числом ступенів свободи цієї сістеми.Так, розглянутий вище кульку на площині (або на поверхні), якщо його вважати матеріальною точкою, має 2 ступені свободи. У кривошипно-шатунного механізму буде, очевидно, одна ступінь свободи.

У вільної матеріальної точки - 3 ступеня свободи (незалежними будуть 3 переміщення уздовж взаємно перпендикулярних осей). Вільне тверде тіло має 6 ступенів свободи (незалежними переміщеннями будуть: 3 поступальних переміщення уздовж осей координат і 3 обертальних навколо цих осей).

До цього слід додати кілька зауважень.

Перше. Сама назва таких переміщень показує, що вони тільки можливі, але не обов'язкові; що цих переміщень з даного положення системи може бути багато; що серед них лише одне є дійсне (Якщо зв'язок - не стаціонарні, змінюються з плином часу, то дійсне переміщення може не бути одним з можливих); що ці переміщення відбуваються не під дією сил, прикладених до системи, а, так би мовити, за нашим бажанням.

Друге. За рахунок малості таких переміщень спрямовуються вони по дотичній до траєкторії і мають, таким чином, напрямок, що збігається з вектором швидкості. Цю швидкість в даному випадку також називають можливою швидкістю. а не дійсною.

Третє. При наявності зв'язків між точками матеріальної системи, можливі переміщення цих точок пов'язані між собою певними залежностями, рівняннями зв'язків.

На рис.2 дано кілька прикладів можливих переміщень точок деяких матеріальних систем.

З цих прикладів слід, що можливим переміщенням всього тіла, що обертається навколо осі, є малий кут повороту. І можливі переміщення точок його можна визначити за допомогою цього кута. Так, наприклад, (рис.2, а й 2, б).

Так як напрямки можливих переміщень мають напрямки швидкостей, то переміщення точок ланки АВ (ріс.64, в) визначаються за допомогою миттєвого центру швидкостей цієї ланки. А можливе переміщення всього тіла при плоскопаралельному русі - є поворот на малий кут навколо осі, що проходить через миттєвий центр швидкостей. Цей кут можна визначити.

Так як . то. а переміщення повзуна В. і точки С.. Тобто переміщення всіх точок механізму можна визначити через одне можливе переміщення, переміщення ланки ОА. через кут.

Аналогічно, поворотом на малий кут навколо миттєвого центру швидкостей. визначаються можливі переміщення точок колеса, яке може котитися без ковзання по нерухомій прямій (рис.2, г).

Роботу сил, прикладених до матеріальної системі, на можливе переміщення будемо називати можливої ​​роботою.

Якщо розглянути різні типи матеріальних систем, можна виявити, що елементарна робота реакцій багатьох зв'язків на можливе переміщення дорівнюватиме нулю. Такі зв'язку, сума можливих робіт реакцій яких на будь-якому можливому переміщенні дорівнює нулю, називаються ідеальними зв'язками. До таких зв'язків відносяться, наприклад, всі зв'язки без тертя.

Зв'язки, які не змінюються з часом, називаються стаціонарними.

Є зв'язку, які називають або утримують, або односторонніми, в залежності від того перешкоджають вони переміщенню точки у взаємно протилежних напрямках або тільки в одному.

У деяких матеріальних систем зустрічаються і досить складні зв'язки, що обмежують або тільки положення системи, координати її точок, або ще і швидкість їх, похідні від координат за часом. Перші називають голономних, геометричними, зв'язками; другі - неголономними, кінематичними, неінтегріруемих. Ми надалі будемо розглядати системи лише з голономний зв'язок.