Мордкович § 18

18.1. Знайдіть кількість всіх:
а) двозначних чисел;
б) двозначних чисел, що складаються з різних цифр;
в) двозначних чисел, сума цифр яких більше 16;
г) двозначних чисел, твір цифр яких менше 2.

18.2. З цифр 4, 6, 7 становлять різні тризначні числа без цифр, що повторюються.
а) Знайдіть найбільше число.
б) Знайдіть найменше число, у якого друга цифра дорівнює 7.
в) Скільки чисел, що закінчуються цифрою 7, можна з-ставити?
г) Скільки всього чисел можна скласти?

18.3. З цифр 0, 1, 4, 8, 9 складають двозначне число (повторення цифр допускаються).
а) Знайдіть найбільше число.
б) Знайдіть найменше число, яке кратно 9.
в) Скільки парних чисел можна скласти?
г) Перерахуйте все числа, які кратні 8.

18.4. Для сніданку на шматок білого, чорного або житнього хліба можна покласти сир або ковбасу. Бутерброд можна запити чаєм, молоком або кефіром.
а) Намалюйте дерево можливих варіантів сніданку.
б) У скількох випадках буде обраний молочний напій?
в) Що більш ймовірно: то, що хліб буде житнім, або те, що бутерброд буде з сиром?
г) Як зміниться дерево варіантів, якщо відомо, що сир не покладуть на чорний хліб, а ковбасу НЕ будуть запивати кефіром?

18.5. В урні лежать дев'ять нерозпізнаних на дотик куль: п'ять білих і чотири чорних. Виймають одночасно дві кулі. Якщо вони різного кольору, то їх відкладають убік, а якщо одного кольору, то повертають в урну. Таку операцію повторюють два рази.
а) Намалюйте дерево можливих варіантів.
б) У скількох випадках в урні залишиться дев'ять куль?
в) У скількох випадках в урні залишиться не більше п'яти куль?
г) Намалюйте дерево можливих варіантів, якщо зазначену в умови операцію повторюють три рази.

18.6. У коридорі три лампочки.
а) Скільки є різних способів освітлення коридору, включаючи випадок, коли все лампочки не горять?
б) Скільки є різних способів освітлення, якщо відомо, що лампочки № 1 і № 2 залишаються увімкненими або горять одночасно?
в) Скільки є різних способів освітлення, якщо відомо, що при палаючої лампочці № 3 лампочка № 2 не горить?
г) Скільки є різних способів освітлення коридору, коли горить більшість лампочок?

18.7. Кілька країн вирішили використовувати для свого державного прапора прямокутник, розділений на чотири вертикальні смуги однакової ширини різних кольорів: білого, синього, червоного, зеленого. У кожної країни - свій прапор. Скільки всього країн:
а) можуть використовувати такі прапори;
б) можуть використовувати прапори з першої білою смугою;
в) можуть використовувати прапори з третього не зеленою смугою;
г) можуть використовувати прапори з синьою і з червоною смугами, розташованими підряд?

18.8. У книжці-розмальовці намальовані непересічні трикутник, квадрат і коло. Кожну фігуру треба розфарбувати в один з кольорів веселки, різні фігури - в різні кольори.
а) Скільки існує способів розфарбовування?
б) Скільки серед них тих, в яких коло - помаранчевий?
в) Скільки серед них тих, в яких трикутник - не червона?
г) Скільки існує способів розфарбовування в холодні кольори?

18.9. На координатної площині відзначені всі точки, абсциси і ординати яких дорівнюють одному з наступних чисел: -3, -1, 1, 2, 7 (повторення допускаються).
а) Скільки всього таких точок?
б) Скільки точок лежить лівіше осі ординат?
в) Скільки точок лежить вище осі абсцис?
г) Скільки точок лежить в колі радіусом 5 з центром на початку координат?

18.10. Відомо, що х = 2а3b5с і а, b, с - числа з безлічі (збігу допускаються).
а) Знайдіть найменше та найбільше значення числа х.
б) Скільки всього таких чисел можна скласти?
в) Скільки серед них буде парних чисел?
г) Скільки серед них буде чисел, що закінчуються нулем?

18.13. Чи ділиться 11! на:
а) 64; б) 25; в) 81; г) 49?

18.15. Вирішіть в натуральних числах рівняння:
а) n! = 7 (n - 1) !; в) (до - 10)! = 77 (k - 11) !;
б) (m + 17)! = 420 (m + 15) !; г) (3x)! = 504 (3x - 3) !.

18.16. До хазяїна будинку прийшли гості А, В, С, D. За круглим столом - п'ять різних стільців.
а) Скільки існує способів розсаджування?
б) Скільки існує способів розсаджування, якщо місце господаря будинку вже відомо?
в) Скільки існує способів розсаджування, якщо відомо, що гостя З слід посадити поруч з гостем А?
г) Скільки існує способів розсаджування, якщо відомо, що гостя А не слід садити поруч з гостем D?

18.17. З цифр 0, 2, 8, 9 складають різні тризначні числа (повторення цифр допускаються).
а) Знайдіть найменше число.
б) Вкажіть всі числа, які менше 250.
в) Вкажіть всі непарні числа, які більше 900.
г) Вкажіть всі числа, які кратні 40.

18.18. На дні портфеля лежать нерозрізнені на дотик олівці: два простих і три кольорових. Учень виймає їх по одному. Йому потрібні кольорові олівці, і вийнятий простий олівець він відправляє назад на дно портфеля, а кольоровий залишає на столі. Така операція повторюється тричі.
а) Намалюйте дерево можливих варіантів.
б) У скількох випадках все вийняті олівці будуть простими?
в) У скількох випадках все вийняті олівці будуть кольоровими?
г) У скількох випадках серед вийнятих олівців кольорових буде більше, ніж простих?

18.19. У таблиці зібрана інформація про вихід новин на чотирьох телеканалах.
Ви хочете вибрати один випуск новин. Намалюйте дерево можливих варіантів вибору в період:
а) з 6-00 до 11-45; в) з 15-00 до 19-45;
б) з 12-00 до 15-45; г) з 18-00 до 23-45.

18.20. Вчителька підготувала до контрольної роботи чотири завдання на рішення лінійних нерівностей, п'ять текстових завдань (дві на рух і три на роботу) і шість завдань на рішення квадратних рівнянь (в двох завданнях дискриминант негативний). У контрольній має бути по одному завданню на кожну з трьох зазначених тем. Знайдіть загальне число:
а) всіх можливих варіантів контрольної;
б) тих можливих варіантів, в яких зустрінеться завдання на рух;
в) тих можливих варіантів, в яких у квадратного рівняння буде хоча б один корінь;
г) тих можливих варіантів, в яких не зустрінуться одночасно завдання на роботу і квадратне рівняння, що не має коріння.

18.21. На контрольної буде п'ять завдань: по одній з пройдених п'яти тем. По кожній темі вчитель склав список з десяти завдань. Відомо, що на контрольній будуть завдання саме з цих списків. По кожній темі учень вміє вирішувати вісім завдань і не вміє вирішувати два завдання. Знайдіть:
а) загальне число всіх варіантів контрольної;
б) число варіантів, в яких учень вміє вирішувати всі п'ять завдань;
в) число варіантів, в яких учень не вирішить жодної задачі;
г) число варіантів, в яких учень вміє вирішувати всі завдання, крім першої.

18.22. Відомо, що х = 2аЗb5с і а, b, с - різні числа з безлічі.
а) Знайдіть найменше та найбільше значення числа х.
б) Скільки всього таких чисел можна скласти?
в) Скільки серед них буде непарних чисел?
г) Скільки серед них буде чисел, кратних 12?

18.23. а) Точки (0; 0), (2; 0), (3; 2) є вершинами трикутника. Скількома способами можна позначити ці вершини буквами А, В, С?
б) Точки (0; 0), (0; 4), (3; 0), (3; 7) є вершинами трапеції. Скількома способами можна позначити ці вершини буквами К, L, М, N?
в) Точки (1; -3), (0; 0), (0; 4), (3; 0), (3; 7) є вершинами опуклого п'ятикутника. Скількома способами можна позначити ці вершини буквами Р, R, S, Т, Q?
г) У скількох випадках в завданні в) PR буде однією зі сторін?

18.24. У волейбольному команді шість чоловік, а на майданчику шість позицій (номерів) для їх розміщення.
а) Скількома способами команда може розташуватися на майданчику?
б) Скільки є способів розташування, при яких капітан знаходиться на подачі?
в) Скільки є способів розташування, при яких капітан знаходиться не на подачі?
г) Скільки є способів розташування, при яких капітан знаходиться або на подачі, або на місці розігруючого?

18.25. Спростіть вираз: