Місце в системі уроків третій урок з даної теми
Застосування подібності до вирішення завдань
Місце в системі уроків: третій урок з даної теми.
Передбачається, що до кінця уроку учні будуть вміти застосовувати подобу при вирішенні прикладних задач на визначення відстані до недоступної точки і визначення висоти предмета
I. Організаційний момент.
II. Слово вчителя про мету цього уроку.
Девіз уроку: Купувати знання - хоробрість,
Примножувати їх - мудрість,
А вміло застосовувати - велике мистецтво.
Геометрія - одна з найдавніших наук. Вона виникла на основі практичної діяльності людей і на початку свого розвитку служила переважно практичним цілям. Надалі геометрія сформувалася як самостійна наука, що займається вивченням геометричних фігур. Геометричні знання широко застосовуються в житті - в побуті, на виробництві, в науці. При покупці шпалер треба знати площу стін кімнати; при виготовленні технічних креслень - виконувати геометричні побудови; при визначенні відстані до предмета, що спостерігається з двох точок зору, потрібно користуватися відомими вам теоремами.
Виміряй самого себе - і ти станеш справжнім геометром! »- вигукнув середньовічний філософ Марсіліо Січіно. Вимірювати самих себе ми не будемо, а ось виміряти висоту дерева. сусіднього будинку або який-небудь історичної пам'ятки, чому б і ні? Подоба трикутників широко використовується при вирішенні найрізноманітніших прикладних задачах, а визначення та формулювання властивостей, теорем, які отримані самостійно експериментальним шляхом, завжди запам'ятовуються краще і грунтовніше.
Сьогодні ми обговоримо, як властивості подібних трикутників можуть бути використані для проведення різних вимірювальних робіт на місцевості.
визначення висоти предмета;
визначення відстані до недоступного об'єкта.
Одного разу Сократ, оточений учнями, піднімався до храму. Назустріч їм спускалася відома афінська гетера. "Ось ти пишаєшся своїми учнями, Сократ, - посміхнулася вона йому, - але варто мені тільки легенько поманити їх, як вони покинуть тебе і підуть слідом за мною". Мудрець же відповів так: "Так, але ти називаєш їх вниз, в теплу веселу долину, а я веду їх вгору. до неприступних, чистим вершин ".
Ось і ми з вами сьогодні повинні піднятися на одну сходинку вгору, "долаючи" завдання на застосування ознак подібності трикутників при вирішенні практичних завдань.
III. Вивчення нового матеріалу
Розглянемо кілька випадків з історії та літератури.
1. Визначення висоти предмета по довжині його тіні.
Грецькі вчені вирішили безліч практичних завдань, які до них люди не вміли вирішувати. Наприклад, за шість століть до нашої ери грецький мудрець Фалес навчив єгиптян визначати висоту піраміди по довжині її тіні.
Як це було, розповідається в книзі Я.І. Перельмана "Цікава геометрія". Фалес, говорить переказ, обрав день і годину, коли довжина власної його тіні дорівнювала його росту. У цей момент висота піраміди повинна також дорівнювати довжині відкидаємо його тіні. Ось, мабуть, єдиний випадок, коли людина витягнув користь з своєї тіні.
Я хочу прочитати вам цю маленьку притчу.
"Втомлений північний чужинець прийшов в країну Великого Хапі. Сонце вже сідало, коли він підійшов до прекрасного палацу фараона і щось сказав слугам. Ті миттєво розкрили перед ним двері і провели його в приймальню залу. І ось він стоїть в запиленому похідному плащі, а перед ним на позолоченому троні сидить фараон. Поруч стоять зарозумілі жерці, охоронці вічних таємниць природи.
- Хто ти? - запитав верховний жрець.
- Звуть мене Фалес. Родом я з Мілета.
Жрець гордовито продовжував:
- Так це ти хвалився, що зможеш виміряти висоту піраміди. НЕ піднімаючись на неї? - жерці зігнулися від реготу.
- Буде добре, - глузливо продовжував жрець, - якщо ти помилишся не більше, ніж на сто ліктів.
- Я можу виміряти висоту піраміди і помилюся не більше ніж на пів-ліктя. Я зроблю це завтра.
Особи жерців потемніли. Яка нахабність! Цей чужинець стверджує, що може обчислити те, чого не можуть вони - жерці Великого Єгипту.
- Добре, сказав фараон. - Біля палацу стоїть піраміда, ми знаємо її висоту. Завтра перевіримо твоє мистецтво ".
На наступний день Фалес знайшов довгу палицю, встромив її в землю трохи віддалік піраміди. Дочекався певного моменту. Він виміряв тінь від палиці і тінь від піраміди. Порівнюючи співвідношення висот реальних предметів з довжинами їх тіней, Фалес знайшов висоту піраміди.
Визначення висоти піраміди по довжині її тіні.
ВС - довжина палиці, DE - висота піраміди. АВС подібний D СDE (за двома кутами):
ВСА = СED = 90 °; АВС = СDЕ, т. К. Відповідні при АВ || DС і січною АС (сонячні промені падають паралельно)
У подібних трикутниках подібні боку пропорційні:
Таким чином. Фалес знайшов висоту піраміди.
Питання класу: Однак. спосіб запропонований Фалесом, можна застосувати не завжди. Чому?
Переваги способу Фалеса: не потрібні обчислення.
Недоліки: не можна виміряти висоту предмета при відсутності сонця і, як наслідок, тіні.
2. Визначення висоти предмета по жердині.
При відсутності тіні в похмуру погоду можна скористатися способом вимірювання, який мальовничо представлений у Жюль Верна в відомому романі "Таємничий острів".
Читаємо уривок з роману.
": - Сьогодні нам треба виміряти висоту майданчики скелі Далекого виду, - сказав інженер.
- Вам знадобиться для цього інструмент? - запитав Герберт.
- Ні, не знадобиться. Ми будемо діяти трохи інакше. звернувшись до не менш простому і точному способу.
Юнак, намагаючись навчитися, можливо, більшого, пішов за інженером, який спустився з гранітної стіни до околиці берега.
Взявши прямий шест, довжиною 10 футів, інженер виміряв його можливо точніше, порівнюючи зі своїм зростом, який був добре йому відомий. Герберт ніс за ним схил, вручений йому інженером: просто камінь, прив'язаний до кінця мотузки.
Не доходячи футів 500 до гранітної стіни, яка піднімалася прямовисно, інженер встромив жердину фута на два в пісок і. міцно зміцнивши його, поставив вертикально за допомогою схилу. Потім він відійшов від жердини на таку відстань, щоб лежачи на піску, можна було на одній прямій лінії бачити і кінець жердини, і край гребеня. Цю точку він ретельно зазначив кілочком.
- Тобі знайомі зачатки геометрії? - запитав він Герберта, піднімаючись з землі.
- Пам'ятаєш властивості подібних трикутників?
- Їх подібні боку пропорційні.
- Правильно. Так ось: зараз я побудую 2 подібних прямокутних трикутника. У меншого одним катетом, буде стрімкий жердину, іншим - відстань від кілочка до заснування жердини; гіпотенуза ж - мій промінь зору. У іншого трикутника катетами будуть: прямовисна стіна, висоту якої ми хочемо визначити, і відстань від кілочка до заснування цієї стіни; гіпотенуза ж - мій промінь зору, що співпадає з напрямком гіпотенузи першого трикутника.
- Зрозумів! - вигукнув юнак. - Відстань від кілочка до жердини так відноситься до відстані до відстані від кілочка до підстави стіни. як висота жердини до висоти стіни.
- Так, і, отже, якщо ми виміряємо два відстані, то знаючи висоту жердини, зможемо обчислити четвертий невідомий член пропорції, тобто висоту стіни. Ми обійдемося, таким чином, без безпосереднього вимірювання цієї висоти.
Обидва відстані були виміряні. Відстань від кілочка до палиці дорівнювало 15 футів, а від палиці до скелі 485 футів.
Після закінчення вимірювань інженер склав наступний запис:
Значить, висота гранітної стіни дорівнювала приблизно 333 футів ".
Переваги способу Жюль Верна:
- можна робити виміри в будь-яку погоду;
недоліки:
не можна виміряти, висоту предмету не забруднилися, так як доводиться лягати на землю.
3. Визначення висоти предмета.
Є кілька простих способів визначення висоти предметів. Наприклад, такі способи наведені в настільній книзі мисливця-спортсмена.
За калюжі. Цей спосіб можна вдало застосовувати після дощу, коли на землі з'являється багато калюж. Вимірювання виробляють таким чином: знаходять неподалік від вимірюваного предмета калюжку і стають біля неї так, щоб вона містилася між вами і предметом. Після цього знаходять точку, з якої видно відображена в воді вершина предмета. Вимірюваний предмет, наприклад дерево. буде в стільки разів вище вас, у скільки відстань від нього до калюжки більше, ніж відстань від калюжки до вас. Замість калюжки можна користуватися покладеним горизонтально дзеркальцем. Дзеркало кладуть горизонтально і відходять від нього назад в таку точку, стоячи в якій, спостерігач бачить в дзеркалі верхівку дерева. Промінь світла FD, відбиваючись від дзеркала в точці D, потрапляє в око людини.
АВD подібний D EFD (за двома кутами): ВАD = FED = 90 °; А d = EDF, тому що кут падіння дорівнює куту відбиття. У подібних трикутниках подібні боку пропорційні:
Таким чином. знайдена висота об'єкта.
Физкультминутка для очей.
-Не повертаючи голови, обведіть поглядом стіну класу по периметру за годинниковою стрілкою, класну дошку по периметру проти годинникової стрілки, трикутник, зображений на стенді за годинниковою стрілкою і рівний йому трикутник проти годинникової стрілки. Поверніть голову наліво і подивіться на лінію горизонту, а тепер на кінчик свого носа. Закрийте очі, порахуйте до 5, відкрийте очі і ...
Ми долоню до очей приставимо,
Ноги міцні розставимо.
Повертаючись вправо,
Оглянемося величаво.
І наліво треба теж
Поглянути з під долоньок.
І - направо! І ще
Через ліве плече!
а тепер продовжимо роботу.
4. Визначення відстані до недоступного об'єкта.
Розглянемо застосування подібності трикутників до визначення відстані до недоступного об'єкта. Завдання 1 на стор.140 підручника (самостійно)
5. Додатковий матеріал.
Для "проведення" довгих відрізків на місцевості використовують прийом, званий провешиванием прямий. Цей прийом полягає в наступному: спочатку відзначають якісь точки А і В. Для цієї мети використовують дві віхи - жердини довжиною близько 2 м, загострені на одному кінці для того. щоб їх можна було увіткнути в землю. Третю віху (точка С) ставлять так, щоб віхи, які стоять в точках А і В, закривали її від спостерігача знаходиться в точці А. Наступну віху ставлять так, щоб її закривали віхи, які стоять в точках В і С, і т.д.
Вимірювання кутів на місцевості можна провести за допомогою спеціального приладу - астролябія. Астролябія складається з двох частин: диска, розділеного на градуси, і обертається навколо центру диска лінійки (алідади). На кінцях алідади знаходяться два вузьких віконечка, які використовуються для установки її в певному напрямку. Для того щоб виміряти АОВ на місцевості, треножник з астролябією ставлять так, щоб схил, підвішений до центру диска, знаходився точно над точкою О. Потім встановлюють алидаду уздовж однієї зі сторін ОА або ОВ, і відзначають розподіл, проти якого знаходиться покажчик алідади. Далі повертають алидаду. направляючи її вздовж іншого боку вимірюваного кута, і відзначають розподіл, проти якого виявиться покажчик алідади. Різниця відліку і дає градусну міру АОВ.
IV. Закріплення вивченого матеріалу
Розібрати за підручником рішення задачі 2 на стор.141
Довжина тіні дерева дорівнює 10,2 м, а довжина тіні людини, зростання якого 1,7 м, дорівнює 2,5 м. Знайдіть висоту дерева.
Визначити ширину річки, якщо АС = 100 м, АМ = 32 м, АК = 34 м.
V. Самостійна робота
Тенісний м'яч поданий з висоти 2м 10см і пролетів над самою сіткою, висота якої становить 90см. На якій відстані від сітки м'яч вдариться об землю, якщо він поданий від межі, що знаходиться в 12м від сітки, і летить по прямій?
Коротке плече шлагбаума має довжину 75 см, а довге плече - 3,75. На яку висоту піднімається кінець довгого плеча, коли кінець короткого опускається на 0,5?
VI. Підбиття підсумків.
Одна із заповідей Піфагора говорить: «Не роби ніколи того, що не знаєш, але навчися всього, що слід знати». Вона актуальна в будь-який історичний час для кожного з нас.
VII.Домашнее завдання: Стовп висотою 15м закривається монетою діаметром 2см, якщо тримати її на відстані 70 см від ока. Знайдіть відстань від стовпа до спостерігача.