Методична розробка з алгебри (7 клас) на тему як вирішувати завдання на ймовірність, скачати

Завдання на ймовірність:
як їх вирішувати?

Як вирішувати завдання на ймовірність?

Якщо вас цікавить питання заголовка, ви напевно студент або школяр, який зіткнувся з новим для себе предметом. Завдання теорії ймовірностей зараз вирішують і школярі п'ятих класів просунутих шкіл, і старшокласники перед ЄДІ, і студенти буквально всіх спеціальностей - від географів до математиків. Що ж це за предмет такий, і як до нього підійти?

Імовірність. Що це?

Теорія імовірності. як випливає з назви, має справу з вірогідністю. Нас оточують безліч речей і явищ, про які, як би не була розвинена наука, не можна зробити точних прогнозів. Ми не знаємо, яку карту витягнемо з колоди навмання або скільки днів в травні буде йти дощ, але, маючи деяку додаткову інформацію, можемо будувати прогнози і обчислювати ймовірності цих випадкових подій.

Таким чином, ми стикаємося з основним поняттям випадкової події - явища, поведінка якого неможливо передбачити, досвіду, результат якого заздалегідь неможливо обчислити і т.п. Саме ймовірності подій обчислюються в типових задачах. Імовірність - це деяка, строго кажучи, функція, що приймає значення від 0 до 1 і характеризує дане випадкова подія. 0 - подія практично неможливо, 1 - подія практично достовірно, 0,5 (або "50 на 50") - з однаковою ймовірністю подія відбудеться чи ні.

Алгоритм розв'язання типових задач на знаходження ймовірності

Детальніше з основами теорії ймовірностей можна ознайомитися, наприклад, в онлайн підручнику. А тепер не будемо ходити навколо, і сформулюємо приблизну схему. по якій слід вирішувати стандартні навчальні завдання на обчислення ймовірності випадкової події, а потім нижче на прикладах проілюструємо її застосування.

Уважно прочитати завдання і зрозуміти, що саме відбувається (що з якогось ящика витягується, що де лежало, скільки приладів працює і т.п.)
Знайти основне питання завдання на зразок "обчислити вірогідність того, що." І ось це три крапки записати у вигляді події, ймовірність якого треба знайти.
Подія записано. Тепер треба зрозуміти, до якої "схемою" теорії ймовірностей відноситься завдання, щоб правильно вибрати формули для вирішення. Дайте відповідь на тестові запитання на кшталт:

відбувається одне випробування (наприклад, викидання двох кісток) або кілька (наприклад, перевірка 10 приладів);
якщо випробувань кілька, залежні чи результати одного від інших (залежність або незалежність подій);
подія відбувається в єдиною ситуації або завдання говорить про декілька можливих гіпотезах (наприклад, куля виймається з будь-якого ящика з трьох, або з конкретного).

Чим більше досвід вирішення завдань, тим легше буде визначити, які формули підходять.

Обрана формула (або декілька) для вирішення. Записуємо всі дані завдання і підставляємо в дану формулу.
Вуаля, ймовірність знайдена.

Готові рішення задач по будь-яким розділах теорії ймовірностей, більш 10000 прикладів! Знайди свою задачу:

Як вирішувати завдання: класична ймовірність

Приклад 1. У групі з 30 студентів на контрольній роботі 6 студентів отримали «5», 10 студентів - «4», 9 студентів - «3», інші - «2». Знайти ймовірність того, що 3 студента, викликані до дошки, отримали по контрольній роботі «2».

Починаємо рішення по пунктах, описаним вище.

У задачі йдеться про вибір 3 студентів з групи, які задовольняють певним умовам.
Вводимо основна подія X X = (Все 3 студента, викликані до дошки, отримали по контрольній роботі «2»).
Так як в завданні відбувається тільки одне випробування і воно пов'язане з відбором / вибором по певній умові, мова йде про класичний визначенні ймовірності. Запишемо формулу: P = m / n P = m / n, де m m - число випадків, що сприяють здійсненню події X X, а n n - число всіх рівно можливих елементарних фіналів.
Тепер необхідно знайти значення m m і n n для цього завдання. Спочатку знайдемо число всіх можливих результатів - число способів вибрати 3 студентів з 30. Так як порядок вибору не має значення, це число поєднань з 30 по 3:

n = C 330 = 30! 3! 27! = 28 ⋅ 29 ⋅ 301 ⋅ 2 ⋅ 3 = 4060. n = C303 = 30! 3! 27! = 28 ⋅ 29 ⋅ 301 ⋅ 2 ⋅ 3 = 4060.

Знайдемо число способів викликати тільки студентів, які отримали "2". Всього таких студентів

було 30-6-10-9 = 5 30-6-10-9 = 5 чоловік, тому

m = C 35 = 5! 3! 2! = 4 ⋅ 51 ⋅ 2 = 10. m = C53 = 5! 3! 2! = 4 ⋅ 51 ⋅ 2 = 10.

P (X) = mn = 104060 = 0,002. P (X) = mn = 104060 = 0,002.

Як вирішувати завдання: формула Бернуллі

Приклад 2. Яка ймовірність того, що при 8 киданнях монети герб випаде 5 разів?

Знову за схемою вирішення завдань на ймовірність розглядаємо це завдання:

У задачі йдеться про серію однакових випробувань - бросаний монети.
Вводимо основна подія X X = (При 8 киданнях монети герб випаде 5 разів).
Так як в завданні відбувається кілька випробувань, і ймовірність появи події (герба) однакова в кожному випробуванні, мова йде про схему Бернуллі. Запишемо формулу Бернуллі, яка описує ймовірність того, що з n n кидків монет герб випаде рівно k k раз:

P n (k) = C kn ⋅ p k ⋅ (1 p) n - k. Pn (k) = Cnk ⋅ pk ⋅ (1-p) n-k.

Записуємо дані з умови задачі: n = 8, p = 0,5 n = 8, p = 0,5 (ймовірність випадання герба в
кожному кидку дорівнює 0,5) і k = 5 k = 5
Підставляємо і отримуємо ймовірність:

P (X) = P 8 (5) = C 58 ⋅ 0,5 5 ⋅ (1-0,5) 8-5 = 8! 5! 3! ⋅ 0,5 8 = 6 ⋅ 7 ⋅ 81 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 0,5 8 = 0,219. P (X) = P8 (5) = C85 ⋅ 0,55 ⋅ (1-0,5) 8-5 = 8! 5! 3! ⋅ 0,58 = 6 ⋅ 7 ⋅ 81 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 0,58 = 0,219.