Матриці приклади розв’язання задач, формули і онлайн калькулятори

Матриці широко застосовуються в математиці для компактного запису СЛАР або систем диференційних рівнянь. Тоді кількість рядків матриці відповідає кількості рівнянь системи, а кількість стовпців дорівнює кількості невідомих. Матричний апарат дозволяє звести рішення громіздких СЛАР до компактних операціями над матрицями.

Приклади по темам:

Матриці: основні визначення та поняття

Завдання. Чому дорівнює елемент матриці?

Рішення. Знаходимо елемент, який стоїть на перетині другого рядка і третього стовпця:

Завдання. обчислити визначник

Рішення. Виконаємо такі перетворення над рядками визначника: з другого рядка віднімемо чотири перших, а з третьої перший рядок, помножену на сім, в результаті, згідно властивостям визначника, отримаємо визначник, рівний даному.

Визначник дорівнює нулю, так як другий і третій рядки є пропорційними.

Завдання. Обчислити визначник приведенням його до трикутного вигляду.

Рішення. Спочатку робимо нулі в першому стовпчику під головною діагоналлю. Всі перетворення буде виконувати простіше, якщо елемент буде дорівнює 1. Для цього ми поміняємо місцями перший і другий стовпці визначника, що, згідно з властивостями визначника, призведе до того, що він змінить знак на протилежний:

Далі отримаємо нулі в першому стовпчику, крім елемента. для цього з третього рядка віднімемо дві перших, а до четвертої рядку додамо першу, матимемо:

Далі отримуємо нулі в другому стовпці на місці елементів, що стоять під головною діагоналлю. І знову, якщо діагональний елемент буде дорівнює. то обчислення будуть більш простими. Для цього міняємо місцями другу і третю рядки (і при цьому змінюється на протилежний знак визначника):

Далі робимо нулі у другому стовпці під головною діагоналлю, для цього поступаємо таким чином: до третьому рядку додаємо три друге, а до четвертої - дві друге рядки, отримуємо:

Далі з третього рядка виносимо (-10) за визначник і робимо нулі в третьому стовпці під головною діагоналлю, а для цього до останнього рядка додаємо третю:

Знаходження оберненої матриці

Завдання. Для матриці знайти зворотну методом приєднаної матриці.

Рішення. Приписуємо до заданої матриці справа одиничну матрицю другого порядку:

Від першого рядка віднімаємо другу (для цього від елемента першого рядка віднімаємо відповідний елемент другого рядка):

Від другого рядка віднімаємо дві перших:

Першу і другу рядки міняємо місцями:

Від другого рядка віднімаємо дві перших:

Другий рядок множимо на (-1), а до першої рядку додаємо другу:

Отже, зліва отримали одиничну матрицю, а значить матриця, що стоїть в правій частині (праворуч від вертикальної риси), є зворотною до вихідної.

Таким чином, отримуємо, що

Завдання. Знайти обернену матрицю для

Рішення. Крок 1. Знаходимо визначник:

Завдання. Знайти обернену матрицю до матриці

Рішення. Обчислюємо визначник матриці:

Так як визначник не дорівнює нулю, то матриця має зворотну. Зворотній матриця до матриці знаходиться за формулою:

Знайдемо союзну матрицю. для цього обчислимо алгебраїчні доповнення до елементів матриці:

Транспоніруем цю матрицю (тобто рядки матриці робимо стовпцями з тим же номером):

Знаходження рангу матриці

Завдання. Знайти ранг матриці

Рішення. За допомогою елементарних перетворень над її рядками наведемо матрицю до ступінчастого вигляду. Для цього спочатку від третього рядка віднімемо дві друге:

Від другого рядка віднімаємо четвертий рядок, помножену на 4; від третьої - дві четверте:

До другої рядку додамо п'ять перших, до третьої - три третіх:

Міняємо місцями першу і другу сходинки:

Далі четверту і першу рядки:

Завдання. Знайти ранг матриці. використовуючи метод облямівки мінорів.

Рішення. Минорами мінімального порядку є мінори першого порядку, які дорівнюють елементам матриці. Розглянемо, наприклад, мінор. розташований в першому рядку і першому стовпці. Облямовують його за допомогою другого рядка і другого шпальти, отримуємо мінор; розглянемо ще один мінор другого порядку, для цього мінор облямовують за допомогою другого рядка і третього стовпця, тоді маємо мінор. тобто ранг матриці не менше двох. Далі розглядаємо мінори третього порядку, які облямовують мінор. Таких миноров два: комбінація третього рядка з другим стовпцем або з четвертим стовпчиком. Обчислюємо ці мінори:

так як містить два пропорційних шпальти (перший і другий); другий мінор

перетворимо наступним чином: до першої рядку додамо третю, а до другої дві третини:

І так як перша і друга рядки пропорційні, то мінор дорівнює нулю.

Таким чином, всі оздоблюють мінори третього порядку дорівнюють нулю. А, значить, ранг матриці дорівнює двом: