Матеріал для занять гуртка - логічна математика - по темі - пентаміно

У цій статті ми будемо розглядати Полімін - фігури, складені з одноклітинних квадратів так, що кожен квадрат примикає хоча б до одного сусіднього, має з ним спільну сторону.

Завдання з Полімін дуже характерні для комбінаторної геометрії - розділу математики, що займається питаннями взаємного розташування і комбінування геометричних фігур. Це дуже красива, але ще майже не розроблена гілка математики, оскільки загальних методів в ній, мабуть, дуже мало, а відомі нині методи настільки примітивні, що не піддаються удосконаленню. Багато які на практиці важливі інженерні завдання - в першу чергу ті, які пов'язані в тому чи іншому сенсі з оптимальним розташуванням фігур заданої форми, - по суті відносяться до комбінаторної геометрії.

У наступних комбінаторних задачах передбачається, що Полімін можна обертати (тобто повертати на 90, 180 або 270) і дзеркально відображати (перевертати), не змінюючи форми самих фігур.

Доміно складається з двох квадратів і може мати лише одну форму - форму прямокутника розміром 1 × 2 (див. Рис. 1). Перша пов'язана з доміно завдання, ймовірно, багатьом знайома: дані шахівниця, з якої вирізана пара протилежних кутових клітин, і коробка доміно, кожне з яких покриває рівно дві клітини шахової дошки (див. Рис. 2). Чи можливо цілком покрити дошку за допомогою 31 кістки доміно (без вільних клітин і накладень)? Відповідь на це питання свідчить: «НІ» і має чудове доказ. Шахова дошка містить 64 чергуються клітини білої і чорної розмальовки (мається на увазі звичайна шахова розфарбування дошки). Кожна покладена на таку дошку і покриває дві сусідні клітини кістка доміно покриє одну білу і одна чорна поле, а n кісток доміно - n білих і n чорних полів, тобто порівну і тих і інших. Але зображена на малюнку шахівниця містить більше чорних клітин, ніж білих, і тому її не можна вкрити кістками доміно. Цей результат є типова теорема комбінаторної геометрії.

Триміно (або Триомино) - Полімін третього порядку, тобто багатокутник, отриманий шляхом об'єднання трьох рівних квадратів, з'єднаних сторонами. Якщо повороти і дзеркальні відображення не брати до уваги різними формами, то існує тільки дві «вільних» форми Триміно (див. Рис.3): пряме (I-образне) і кутовий (L-образне).

З тетраміно пов'язано безліч завдань на складання з них різних фігур. Доведено, що скласти будь-якої прямокутник з повного набору тетраміно неможливо. Доказ використовує розмальовку в шаховому порядку. Все тетраміно. крім Т-образного, містять 2 чорні і 2 білі клітини, а Т-образне тетраміно - 3 клітини одного кольору і 1 клітину іншого. Тому будь-яка фігура з повного набору тетраміно (див. Рис.4) буде містити клітин одного кольору на дві більше, ніж іншого. Але будь-який прямокутник, з парним кількістю клітин, містить рівну кількість чорних і білих клітин.

Полімін, що покриває п'ять клітин шахової дошки, називаються пентаміно. Існує 12 видів пентаміно. які можна позначити великими латинськими літерами, як вказано на малюнку (див. рис. 5). Як прийом, що дозволяє легко запам'ятати ці назви, вкажемо, що відповідні літери складають кінець латинського алфавіту (TUVWXYZ) і входять в ім'я FiLiPiNo. Оскільки всього є 12 різних пентаміно і кожна з цих фігур покриває п'ять клітин, то разом вони покривають 60 клітин.

Найпоширеніша завдання про пентаміно - скласти з усіх фігурок, без перекриттів і зазорів, прямокутник. Оскільки кожна з 12 фігур включає в себе 5 квадратів, то прямокутник повинен бути площею 60 одиничних квадратів. Можливі прямокутники 6 × 10, 5 × 12, 4 × 15 і 3 × 20 (см. Рис. 6).

Для випадку 6 × 10 це завдання вперше вирішив в 1965 році Джон Флетчер. Існує рівно 2339 різних укладок пентаміно в прямокутник 6 × 10, не рахуючи поворотів і відображень цілого прямокутника, але вважаючи повороти і відображення його частин (іноді всередині прямокутника утворюється симетрична комбінація фігур, повертаючи яку можна отримати додаткові рішення).

Для прямокутника 5 × 12 існує 1010 рішень, 4 × 15 - 368 рішень, 3 × 20 - всього 2 рішення (що відрізняються вищеописаним поворотом). Зокрема, існує 16 способів скласти два прямокутника 5 × 6, з яких можна скласти як прямокутник 6 × 10, так і 5 × 12.

Ще одна цікава задача про пентаміно - завдання про потроєння фігур пентаміно (див. Рис. 7). Це завдання було запропоновано професором Каліфорнійського університету Р.М.Робінсоном. Вибравши одну з 12 фігур пентаміно, необхідно побудувати з будь-яких 9 з 11 залишилися пентаміно фігуру, подібну обраної, але в 3 рази більшої довжини і ширини. Рішення існує для будь-якого з 12 пентаміно. причому не єдине (від 15 рішень для Х до 497 для Р). Існує варіант цього завдання, в якому для побудови потроєною фігури дозволяється використовувати також і саму вихідну фігуру. У цьому випадку число рішень від 20 для Х до 9144 для Р-пентаміно.

У цій роботі я пропоную кілька завдань з використанням фігур пентаміно, які можна використовувати і для самих перших занять з цією головоломкою, і для більш підготовлених хлопців. Вони підійдуть і для початкової школи, і для учнів 5-7 класів (в залежності від рівня учнів).

Для роботи нам буде потрібно комплект, що складається з дванадцяти деталей пентаміно. Його дуже легко зробити самим на уроці або вдома. На аркуші в клітинку потрібно намалювати фігури так, щоб кожна складалася з п'яти квадратів зі стороною 1см. Потім слід приклеїти лист в клітку на картон і вирізати по контуру отримані фігурки. При бажанні їх можна розфарбувати кольоровими олівцями або фломастерами. Пентаміно готове.

Починається презентація з найпростіших завдань. Потрібно з усіх дванадцяти фігурок пентаміно відкласти тільки ті, з яких збирається дана картинка. Фігурки в презентації з'являються після клацання по одній, щоб було зручно їх знаходити.

На наступному слайді представлена ​​картинка, яку потрібно зібрати. А на третьому слайді запропонований варіант відповіді. Таких завдань у презентації чотири, але їх кількість завжди можна збільшити в міру необхідності.

Починаючи з п'ятої завдання, учні самі повинні вибрати фігурки, які будуть використані для даної картинки. У задачі №5 для «собачки» будуть потрібні три фігурки пентаміно.

У задачі №6 хлопці повинні не тільки зібрати дані картинки, а й спробувати пояснити, чому може бути представлено тільки єдине рішення цих задач.

У завданнях №7 і №8 рішень може бути кілька, і можна влаштувати змагання «хто перший знайде всі можливі рішення цих задач».

Починаючи з завдання №9, рішень стає набагато більше. Знайти всі рішення на уроці не вийде. Ці завдання можна запропонувати як варіант домашнього завдання або запропонувати знайти рішення, розбивши клас на групи.

У завданнях №13 і №14 при вирішенні використовуються всі дванадцять фігур пентаміно. Це вже досить складні завдання. З ними можуть впоратися не всі учні 5-6 класів. Тому ті хлопці, які знайшли вирішення цих завдань, повинні бути заохочені.

Дуже цікавий результат можна отримати, запропонувавши хлопцям самим придумати різні картинки, складені з фігур пентаміно. Якщо це початкові класи, то потрібно домовитися про те, що можна використовувати не всі фігури відразу. У більш старших класах учні можуть використовувати весь комплект. Тут слід нагадати, що кожна фігурка зустрічається рівно один раз і не можна використовувати якісь деталі більш ніж один раз.

І взагалі, дуже важко охопити такий величезний матеріал в одній презентації. Я запропонувала тільки дещицю того, що може бути придумано з пентаміно. Творіть, і результат перевершить всі ваші найсміливіші очікування. Ваші діти дуже талановиті, і потрібно тільки направити їх думку в потрібну сторону. А там…