Математика а

Інтегральне числення. Властивості визначеного інтеграла

8.2.1. Незалежність певного інтеграла від позначення змінної

Коли ми займалися невизначеним інтегралом, то відзначали, що в запису і підінтегральної функції і результату інтегрування присутній одна і та ж змінна. І її позначення було істотним. У разі певного інтеграла це зовсім не так:

тобто зліва і справа буде одне і те ж число. Отже, позначення змінної інтегрування в певному інтегралі ніякої ролі не грає.

8.2.2. Визначений інтеграл з однаковими межами інтегрування

Розглянемо вираз. Що ж ми повинні розуміти під цим символом? З самого визначення певного інтеграла площа криволінійної трапеції дорівнюватиме нулю, тобто визначений інтеграл з однаковими межами інтегрування дорівнює нулю.

8.2.3. Визначений інтеграл як функція верхньої межі

Якщо в певному інтегралі межі інтегрування закріплені, то інтеграл дорівнює деякому постійному числу. Якщо міняти a і b, то і це число буде змінюватися. Таким чином, якщо ми будемо вважати a і b змінними, то значення інтеграла буде функцією від цих двох змінних. Припустимо, що нижня межа a зафіксовано, а верхній b змінюється, тоді інтеграл буде функцією від цієї однієї змінної. Позначимо його. тобто . Так як позначення змінної інтегрування несуттєво покладемо, що

Теорема Барроу. Похідна певного інтеграла як функція його верхньої межі дорівнює значенню підінтегральної функції в точці диференціювання, тобто

8.2.4. Формула Ньютона-Лейбніца

Розглянемо інтеграл. Для обчислення цього інтеграла використовують фундаментальну формулу Ньютона-Лейбніца:,

тобто для обчислення певного інтеграла від якої-небудь функції треба знайти для неї первісну і скласти різницю значень цієї первісної при верхньому і нижньому межах інтегрування.

Приклад: Обчислити. Первісною для буде, наприклад, функція. За формулою Ньютона-Лейбніца отримаємо, що

Дуже часто замість запису F (b) -F (a) використовують запис. Тоді формула Ньютона-Лейбніца набуде вигляду.

8.2.5. Заміна змінної в певному інтегралі

[ВИЩА МАТЕМАТИКА. Інтегральне числення. Обчислення визначеного інтеграла]

Нехай тепер нам потрібно знайти інтеграл виду Позначимо * (x) = z, тоді * '(x) dx = dz. Тоді підінтегральний вираз набуде вигляду f (z) dz. Нехай функція F (z) є первісна для функції f (z). Тоді за формулою Ньютона-Лейбніца

Приклад. Обчислити. Застосовуючи лінійну заміну змінних (3x = t, dt = 3dx) і перерахувавши кордону інтегрування для нової змінної, в результаті отримаємо

8.2.6. Перестановка меж інтегрування

З формули Ньютона-Лейбніца слід, що

Але остання сума є не що інше як. тобто

=. Ми довели, що певний інтеграл змінює знак при перестановці меж інтегрування.

8.2.7. Розбиття відрізка інтегрування

Нехай тепер ми виберемо точку c, таку, що a 0 і b> a, то тобто інтеграл від позитивної функції є функція позитивна. Розглянемо тепер дві функції f (x) і q (x), задані на [a, b]. Якщо f (x)

Приклад. Обчислити визначений інтеграл Скористаємося формулою інтегрування частинами. Візьмемо тоді Знаходимо Тоді

Завдання. Обчисліть наступні певні інтеграли, використовуючи наведені вище правила і розібрані раніше приклади.