Мартін Гарднер - математичні головоломки і розваги - стор 52

Існує до смішного простий спосіб побудови таких квадратів. Варто лише взяти квадрат, розділити його на 16 клітин і в кожну з них по порядку вписати числа від 1 до 16, а потім поміняти місцями числа, розташовані на головних діагоналях симетрично щодо центру, і симетричний магічний квадрат готовий. Дюрер переставив у свого квадрата два середніх шпальти (що не вплинуло на властивості квадрата) так, що числа в двох середніх клітинах нижнього рядка стали вказувати дату створення гравюри.

Найдавніший з дійшли до нас квадратів четвертого порядку був виявлений в написи XI або XII століття, знайденої в Кхаджурахо (Індія). Він показаний на рис. 143 вгорі.

Цей магічний квадрат відноситься до різновиду так званих "диявольських" квадратів (або "пандіагональних", або "Насик" ще більш дивних, ніж симетричні. Крім звичайних властивостей, диявольські квадрати є магічними по всім "ламаним діагоналях".

Наприклад, числа 2,12,15 і 5, а також 2, 3,15 та 14 стоять на ламаних диагоналях, які можна відновити, поставивши поруч два однакових квадрата. Диявольський квадрат залишиться диявольським, якщо його верхній рядок переставити вниз або, навпаки, нижній рядок помістити наверх, а також якщо викреслити останній стовпець праворуч або ліворуч і приписати його до квадрату з протипоказане на рис. 144.

Мал. 144Одно з п'яти перетворень, що зберігають "диявольські" властивості "диявольського" квадрата.

Комбінуючи ці п'ять перетворень, можна отримати 48 основних типів диявольських квадратів (якщо вважати, що до допустимих перетворень відносяться повороти і відображення, то число типів зросте до 384). Як показали Россер і Уокер, ці перетворення утворюють "групу" (тобто якусь абстрактну структуру, що володіє певними властивостями), збігається з групою перетворень гиперкуба (чотиривимірного куба) в себе.

Зв'язок між диявольськими квадратами і гіперкуб неважко побачити. якщо 16 клітин квадрата зіставити з 16 вершинами гиперкуба. Відповідність між клітинами і вершинами можна показати на добре знайомій двовимірної проекції гіперкуба (рис. 145).

Мал. 145 "Диявольський" гіперкуб і один з його 384 "диявольських" квадратів.

Сума чисел, що стоять в чотирьох вершинах кожної з 24 квадратних граней гіперкуба, дорівнює 34. Пари антиподів, що дають в сумі 17, розташовані в протилежних кінцях діагоналей гиперкуба.

Повертаючи гиперкуб і виробляючи відображення, його можна перевести в 384 різних положення, кожне з яких відображається на площину як один з 384 диявольських квадратів.

Клод Ф. Брегдон, відомий американський архітектор, який помер в 1946 році, виявив, що, з'єднавши одну за одною клітини магічних квадратів ламаної, ми в більшості випадків отримаємо витончений візерунок. Подібні візерунки можна отримувати, поєднуючи клітини тільки з парними або тільки з непарними числами. Отримані таким способом "магічні лінії" Брегдон використовував як зразки малюнків для тканин, книжкових обкладинок, архітектурних прикрас і декоративних заставок. Останні він зробив до кожної чолі своєї автобіографії. Придуманий їм візерунок для вентиляційної решітки в стелі Торгової палати в Рбчестере (штат Нью-Йорк), де він жив, побудований з магічною ламаної талісмана ло-шу. Типовий приклад магічною ламаної показаний на рис. 146, де візерунок викреслений прямо на квадраті Дюрера.

Мал. 146 "Магічна ламана" для квадрата Дюрера.

[Цікаво, що теорія магічних квадратів третього і більш високих порядків знаходить застосування в сучасній квантовій механіці. В теорії квантування моментів кількості руху використовується так звана таблиця Реджо, яка представляє собою магічний квадрат 3x3, складений з довільних цілих чисел (не обов'язково цілих). Така таблиця містить 5 незалежних цілих чисел відповідно до того, що в квадраті 3x3 є 9 елементів, на які накладено 5 умов рівності сум елементів всіх рядків і стовпців деякому цілому числу J. Таблиця Реджо має вигляд:

Ha 6 позитивних чисел j і m накладено умова j 1 + J 2 + J 3 = J; m 1 + m 2 + m 3 = 0 і умова позитивності всіх трьох чисел, що стоять в першому рядку. Ці умови геометрично означають, що з трьох відрізків довжиною j 1. J 2. J 3 можна скласти трикутник, тому їх разом називають "умовою трикутника". Підставивши в таблицю будь-які позитивні значення j і m. задовольняють написаним умов, ми отримаємо магічний квадрат з сумою J. Природно, цей спосіб легко узагальнити на магічні квадрати з дробовими і негативними елементами.

Якщо на додаток до наведених умов покласти і

то у магічного квадрата і сума членів, що стоять на кожній діагоналі, буде дорівнює J.]

Глава 28. ФІРМА "ДЖЕЙМС Х'ю РАЙЛІ, АТРАКЦІОНИ І ГОЛОВОЛОМКИ"

Серед найбільших американських компаній, які займаються влаштуванням різних розваг, забав і видовищ, безсумнівно, слід назвати фірму "Джеймс Х'ю Райлі, атракціони і головоломки", хоча в дійсності її ... не існує.

Почувши, що на околиці міста знову відкрився ярмарок з атракціонами, каруселлю і т. П. Я вирішив під'їхати туди, щоб побачитися зі своїм давнім другом Джимом Райлі. Ми познайомилися з ним у 40-ті роки, ще в бутність студентами Чиказького університету. У той час Райлі був уже на старшому курсі математичного факультету, як раптом, абсолютно несподівано для всіх, він вступив в мандрівну трупу, щоб стати конферансьє в танцювальному ревю. В цьому амплуа, як кажуть актори, він виступав і в наступні роки. У трупі його називали Професором.

Якимось чином йому вдалося зберегти в собі живий інтерес до математики, і коли б нам ні доводилося зустрічатися, я завжди міг почерпнути у нього кілька оригінальних тем для розділу цікавої математики в Scientific American.

На цей раз я розшукав Професори біля входу в паноптикум, де він розмовляв з контролером, які перевіряли квитки. На ньому була стетсоновская капелюх, і виглядав він старше і солідніше, ніж при нашій останній зустрічі.

- Регулярно Новомосковськ твій розділ в журналі, - сказав він, коли ми потисли один одному руки. - Чому б тобі не написати як-небудь про гру "Закрий пляма"?

- А що це за гра? - запитав я.

- Це один з найстаріших наших атракціонів.

Він схопив мене за руку і потягнув за собою по доріжці. Незабаром ми зупинилися у щита, на якому був намальований червоне коло діаметром в метр. Професор пояснив мені правила гри. Граючий повинен розмістити п'ять металевих дисків (беручи кожен раз лише по одному диску) так, щоб вони закрили червона пляма. Діаметр кожного диска становила приблизно 61 см. Поклавши диск, який грає не має права пересувати його. Гра вважається програною, якщо після того, як покладений останній, п'ятий диск, між металевими дисками залишиться хоча б найменший зазор і можна буде бачити червона пляма.

- Зрозуміло, - додав Професор, - з усіх кіл, які можна повністю закрити дисками даного діаметра, ми вибрали коло найбільшого радіуса. Більшість людей вважає, що диски слід розташовувати так. - І він розмістив диски симетрично.

При такому розташуванні (рис. 147) край кожного диска проходить через центр червоного кола (на нашому малюнку він заштрихований), а центри дисків утворюють вершини правильного п'ятикутника. Але п'ять маленьких шматочків у самого краю червоного кола залишаються незакритими.