Логарифмічні диференціювання функцій

Метод логарифмічного диференціювання стає придатним при диференціюванні твори кількох функцій або їх Частки. Його зручно застосовувати при диференціюванні виразів, що містять корені з дробів (функцій), а також коли показник функції також є функцією

У таких випадках доцільно обидві частини виразу спочатку прологаріфміровать по підставі, а потім приступити до диференціювання. Цей спосіб отримав назву логарифмічного диференціювання. Похідну логарифма функції називають логарифмічною похідною. Суть методу за допомогою формул можна описати таким чином:

маємо складну функцію виду

до обох сторін застосовуємо логарифмирования

знаходимо похідні правої і лівої частини рівності

Прирівнюємо похідні і висловлюємо

В цьому суть методу, далі все залежить від функції.

Якщо вона являє собою твір функцій

то за властивостями логарифма він буде дорівнює сумі логарифмів

Якщо маємо дріб від функцій

то застосовуючи логарифмирования отримаємо

Якщо маємо функцію в степеню іншої

то за властивостями логарифма отримаємо

У разі коренів диференціювання значно спрощується

Подальше обчислення похідних залежить від складності самих функцій. Розглянемо конкретні приклади, щоб даний матеріал став для Вас більш зрозумілим і наочним.

Використовуючи логарифмирования знайти похідну (Дубовик В.П. Юрик І.І. "Вища математика. Збірник завдань")

Приклади вибрано складні для того, щоб розкрити всю силу методу логарифмічного диференціювання і розглянути типові поширені приклади.

1) Проведемо логарифмирования лівої і правої частин

Знайдемо похідну правої частини

Похідна лівій частині показана при викладі теоретичного матеріалу. Записуємо обидві частини

Далі переносимо функцію з знаменника в праву частину і не забуваємо поміняти її значення

Незважаючи на складний вид даний приклад повністю вирішено.

2) Використовуємо властивості логарифма до цього прикладу

Проводимо диференціювання обох частин рівності

Зведемо до спільного знаменника праву сторону. В результаті математичних операцій отримаємо

Підставами в вихідну рівність, перенісши функцію в праву частину

В результаті ряду нескладних математичних маніпуляцій отримали досить компактний кінцевий результат похідною. При обчисленні цього прикладу напрямки подібний результат довелося б шукати дуже довго.

3) Не дивлячись на складний вид цей вислів, на основі властивостей ступенів, можна переписати в наступному вигляді

Застосуємо до нього логарифмирования

Похідна від правої частини буде дорівнює наступного виразу

Тут для спрощення подальших викладок введено позначення.

З огляду на похідну, остаточно отримаємо

Можна залишати в такому вигляді, оскільки суть даного уроку навчитися застосовувати метод логарифмічного диференціювання. Але якщо Ви захочете для спрощення звести все до спільного знаменника, то отримаєте такий вираз

Повірте це займе у Вас багато часу.

4) Проводимо логарифмирования функції

Далі за методикою знаходимо похідну правої частини. Вона буде дорівнює висловом

Підставляючи в формулу для похідної від, отримаємо

На цьому рішення прикладу завершено.

Практикуйте з подібними завданнями і через деякий час у Вас не буде жодних труднощів з такого сорту прикладами.