Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку

Лінійним однорідним диференціальним рівнянням другого порядку з постійними коефіцієнтами називається рівняння виду

де p і q - постійні величини.

На те, що це рівняння другого порядку, вказує наявність другої похідної від шуканої функції, а на його однорідність - нуль в правій частині. Постійними коефіцієнтами називаються вже згадані вище величини.

Щоб вирішити лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами. потрібно спочатку вирішити так зване характеристичне рівняння виду

яке, як видно, є звичайним квадратним рівнянням.

Залежно від рішення характеристичного рівняння можливі три різні варіанти вирішення лінійного однорідного диференціального рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами. які зараз розберемо.

Коріння характеристичного рівняння - дійсні і різні

Іншими словами, . У цьому випадку рішення лінійного однорідного диференціального рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами має вигляд

Приклад 1. Вирішити лінійне однорідне диференціальне рівняння

Рішення. Характеристичне рівняння має вигляд, його коріння і - речові і різні. Відповідні приватні рішення рівняння: і. Загальне рішення даного диференціального уравенную має вигляд

Коріння характеристичного уравенную - речові і рівні

Тобто, . У цьому випадку рішення лінійного однорідного диференціального рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами має вигляд

Приклад 2. Вирішити лінійне однорідне диференціальне рівняння

Рішення. Характеристичне рівняння має рівні корені. Відповідні приватні рішення рівняння: і. Загальне рішення даного диференціального уравенную має вигляд

Коріння характеристичного рівняння - комплексні

Тобто, , , . У цьому випадку рішення лінійного однорідного диференціального рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами має вигляд

Приклад 3. Вирішити лінійне однорідне диференціальне рівняння

Рішення. Характеристичне рівняння має комплексні корені і. Відповідно і. Загальне рішення даного диференціального уравенную має вигляд

Важливе зауваження. Теорія рішення лінійних диференціальних рівнянь другого порядку говорить, що вищенаведені загальні рішення рівняння виходять тоді, коли і - будь-які два лінійно незалежних приватних рішення рівняння.

Лінійну незалежність рішень можна перевірити за допомогою визначника Вронського:

Якщо визначник Вронського не дорівнює нулю. то рішення - лінійно незалежні. У всіх наведених вище прикладах отримані лінійно незалежні рішення.