Лінійна залежність і незалежність векторів

З цього матеріалу Ви навчитеся розкладати вектор за базисом, перевіряти вектори на лінійну незалежність, знаходити розмірність простору. Почнемо вивчати з самого основного.

Нехай нам задано вектори з - мірного векторного простору, а також деякі дійсні числа а

називається лінійною комбінацією векторів

Вектори бувають лінійно залежними або незалежними. Ці властивості визначають на основі наступних правил:

1) Вектори називаються лінійно залежними. якщо знайдуться такі дійсні числа одночасно не рівні нулю, при яких підтверджується рівність

2) Якщо рівність

виконується тільки за умови, що

тоді вектори називаються лінійно незалежними.

На практиці лінійну незалежність векторів перевіряють з умови, що визначник складений з координат векторів відрізняється від нуля. Для приладу, якщо є три вектори з простору, то для підтвердження їх лінійної незалежності визначник

не повинно бути дорівнює нулю. В іншому випадку вектори будуть лінійно залежними.

З властивостей визначників випливає, що вектори будуть лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли хоча б один з них є лінійною комбінацією інших або нульовим.

Розмірність простору - це максимальна кількість лінійно незалежних векторовкоторое може бути в ньому. Будь-яку сукупність лінійно незалежних векторів - мірного лінійного простору називають його базисом.

Кожен вектор з єдиним способом може бути зображений у вигляді лінійної комбінації векторів базису. Якщо - базис лінійного простору, то - розкладання вектора по базису,

-координати вектора в цьому базисі.

Завдання розкладання вектора займають важливе місце в курс вищої математики, і потрібні не менше відшукання базису лінійного простору.

Алгоритм розкладання вектора по базису

1. Записати рівність в матричної формі. Вектори представити у вигляді матриць-стовпців.

2. Матричне рівняння записати у вигляді системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Вирішити отриману систему.

3. Записати розклад вектора по базису.

Для цього в рівність

замість підставити рішення системи рівнянь.

Записати розкладання вектора по базису

Скористаємося формулою розкладання вектора

Дане рівняння записуємо у вигляді системи лінійних рівнянь

Рішенням цієї системи

Отримані значення підставляємо в рівняння розкладання, в результаті отримаємо - розклад вектора в базисі

Як бачите обчислення не складні, приведена інструкція допоможе Вам вирішити подібні завдання.