Лінійна залежність і лінійна незалежність векторів лінійного простору

Визначення 4. Вектор також належить V і називається лінійною комбінацією векторів Числа називаються коефіцієнтами цієї комбінації.

Визначення 5. Комбінація називається тривіальною, якщо всі; якщо є ненульові коефіцієнти, то вона називається нетривіальною.

Визначення 6.Сістема векторів називається лінійно залежною. якщо існує нетривіальна комбінація цих векторів, що дорівнює нульовому вектору. Якщо тільки тривіальна комбінація дорівнює нульовому вектору, то система називається лінійно незалежною.

Система, що складається з одного ненульового вектора x. лінійно незалежна т. к. можливо лише при. Система, що складається з нульового вектора. лінійно залежна, т. к. навіть при.

Приклад 5. У лінійному просторі будь-які два колінеарних вектори лінійно залежні. Нехай вектори х вектора лінійно залежно та колінеарні. З цього випливає, що існує таке число. що. Тоді - нетривіальна комбінація, рівна нульового вектору.

Для векторів лінійного простору справедливі наступні твердження:

1. Якщо до системи n лінійно залежних векторів приєднати будь-m векторів, то отримаємо систему n + m лінійно залежних векторів.

2. Якщо в системі, що містить n лінійно незалежних векторів, прибрати будь-які m векторів (m

3. Якщо серед векторів є і такі, що. де - число, то вектори лінійно залежні.

4. Якщо серед векторів є нульовий, то ці вектори лінійно залежні.

Теорема. (Критерій лінійної залежності векторів). Для того, щоб вектори були лінійно залежні, необхідно і достатньо, щоб хоча б один з цих векторів був лінійною комбінацією інших.

36. Розмірність і базис лінійного простору. Координати вектора лінійного простору.

Визначення 7.Пусть в лінійному просторі V виконуються наступні умови:

1) існує n лінійно незалежних векторів;

2) будь-яка система n + 1 векторів лінійно залежна.

Тоді число n називається розмірністю простору V. Якщо простір складається з одного елемента, то її розмірність покладемо рівною 0.

Позначається розмірність (від англ. Dimension - розмірність).

Визначення 8. Простір V розмірності n будемо називати n-мірним простором.

Визначення 9. Базисом n мірного простору називається будь-який упорядкований набір з n лінійно незалежних векторів.

Теорема.Еслі - базис n-мірного простору V, то будь-який вектор цього простору лінійно виражається через вектори. т. е.

Нехай. Тоді система з n + 1 вектора лінійно залежна, т. Е..

Число. т. к. інакше вийшла б нетривіальна комбінація векторів дорівнює нулю. Висловлюємо вектор з цього рівняння:

. що й потрібно було довести.

Теорема.Еслі - система лінійно незалежних векторів простору V і будь-який вектор цього простору лінійно виражається через. то простір V є n-мірним.

Приклад 6. У просторі з прикладу 1 базис утворюють три вектора. Вони лінійно незалежні, і кожен вектор лінійно виражається через них. Отже, розмірність простору дорівнює трьом.

Нехай задані два лінійних простору V і. Якщо між елементами цих просторів встановлено взаимнооднозначное відповідність, причому відповідає. то пишуть.

Визначення 10.Два лінійних речових простору V і називаються ізоморфними, якщо між їх елементами можна встановити взаємно-однозначна відповідність так, що якщо. . то. де - дійсне число.

Теорема.Два лінійних речових простору ізоморфні тоді і тільки тоді, коли вони мають однакову розмірність.

Теорема.Еслі - базис лінійного простору, то для будь-якого вектора цього простору існує єдина система чисел така, що.

З теореми 12.2 випливає існування такої системи. що виконується. Доведемо єдиність. Припустимо, що існує інша система. така, що. Тоді.

Групуючи доданки, отримаємо

Звідси слідує що . оскільки вектори лінійно незалежні. Теорема доведена.