Кульовий сегмент і сферичний сегмент

де R - радіус кулі;

r - радіус підстави сегмента;

h - висота кульового сегмента;

S - площа поверхні кульового сектора;

V - об'єм кульового сектора.

Приклад 1. Радіус кулі розділили на три рівні частини. Через точки поділу провели два перетину перпендикулярні радіусу. Знайти площу сферичного пояса, якщо радіус кулі дорівнює 15см.

Рішення. Зробимо малюнок (рис. 44).

Для того, щоб обчислити площу сферичного пояса, треба знати радіус кулі і висоту. Радіус кулі відомий, а висоту знайдемо, знаючи, що радіус розділений на три рівні частини:

Приклад 2. Куля пересічений двома паралельними площинами, що проходять перпендикулярно діаметру і по різні боки від центру кулі. Площі сферичних сегментів рівні 42p см 2 і 70p см 2. Знайти радіус кулі, якщо відстань між площинами 6 см.

Рішення. Розглянемо два сферичних сегмента з площами: де R - радіус кулі (сфери), h, H - висоти сегментів. Отримаємо рівняння: і Маємо два рівняння з трьома невідомими. Складемо ще одне рівняння. Діаметр кулі дорівнює Вирішивши систему, знайдемо радіус кулі.

Û Þ Û

За умовою завдання підходить значення

Приклад 3. Перетин кулі площиною, перпендикулярної його діаметру, ділить діаметр щодо 1: 2. У скільки разів площа перетину менше площі поверхні кулі?

Розглянемо діаметральне перетин кулі: AD - діаметр, O - центр, OE = R - радіус кулі, BE - радіус перерізу перпендикулярного діаметру кулі,

Висловимо BE через R.

З DOBE висловимо BE через R:

Площа перетину площа поверхні кулі Отримуємо відношення. Значить, S1 менше S2 в 4,5 рази.

Відповідь: в 4,5 рази.

Приклад 4. У кулі, радіус якого 13 см, проведені два взаємно перпендикулярних перетину на відстані 4 см і 12 см від центру. Знайти довжину їх загальної хорди.

Рішення. Зробимо малюнок (рис. 46).

Перетину перпендикулярні, тому що OO2 - відстань і OO1 - відстань. Таким чином, і. OC - ​​діагональ прямокутника OO2 CO1 і дорівнює

DO1 AB - рівнобедрений (O1 A = O1 B - радіуси), тоді перпендикуляр O1 C - є і медіаною AC = CB.

Розглянемо DOAC: OA - радіус кулі, (OC ^ AC по теоремі про три перпендикуляри). Знаходимо Загальна хорда перетинів

Приклад 5. Площа осьового перерізу кульового сектора в три рази менше площі великого кола кулі. Знайти відношення об'ємів сектора і кулі.

Рішення. Зробимо малюнок (рис. 47).

Розглянемо осьовий переріз кулі. Осьовий переріз кульового сектора - це круговий сектор, площа якого становить частину площі кола. Значить, центральний кут дорівнює 120 °, отже Кульовий сектор можна розглядати як тіло, отримане при обертанні сектора АОВ навколо бічного радіуса ОВ. Висотою даного сектора служить відрізок СВ. Обсяг сектора обчислюється за формулою об'єм кулі -

З DАОС (ОА - радіус) Значить Отже Порівнюючи обсяги сектора і кулі, отримуємо, що Vc: VШ = 1: 4.

Завдання для самостійного рішення

1.1. У кулі на відстані 9 см від центру проведено розтин, площа якого 144p см 2. Знайдіть радіус кулі.

1.2. Два рівних кулі з радіусом R = 17 см, взаємно перетинаючись, утворюють двоопуклоюлінзу. Знайдіть її діаметр, якщо відстань між центрами куль одно R.

1.3. Знайдіть висоту кульового сегмента, якщо радіус його основи 15см, а радіус кулі 25 см.

1.4. Куля, радіус якого 15 см, пересічений площиною на відстані 9 см від центру. Знайдіть площу сферичної частини кульового сегмента.

1.5. Знайдіть площу сфери, діаметр якої дорівнює діагоналі куба з ребром рівним 2 см.

1.6. Визначте, у скільки разів обсяг Землі більше обсягу Місяця. (Діаметр Землі слід прийняти за 13тис. Км, діаметр Місяця - 3,5 тис. Км.)

1.7. Обсяг стінок порожнього кулі дорівнює 876p см 3. а товщина стінок - 3 см. Знайдіть радіуси зовнішньої та внутрішньої поверхонь кулі.

1.8. Знайдіть об'єм кульового сектора, якщо радіус кулі 10 см, а радіус підстави відповідного кульового сегмента 6 см.

1.9. Обсяг одного кулі в 8 разів більше обсягу іншої кулі. Визначте, у скільки разів площа поверхні першого кулі більше площі поверхні другого.

2.1. Сторони трикутника, рівні 5 см, 5 см і 6 см, стосуються кулі, радіус якого 2,5 см. Знайдіть відстань від центру кулі до площини трикутника.

2.2. На поверхні кулі дано три точки. Відстані між ними 7 см. Радіус кулі дорівнює 7 см. Знайдіть відстань від центру кулі до площини, що проходить через дані три точки.

2.3. Радіуси основ кульового шару рівні 63 см і 39 см, його висота36 см. Знайдіть радіус кулі.

2.4. Дан кулю радіуса 12 см. Через одну точку його поверхні проведені дві площини: перша - дотична до кулі, друга - під кутом 60 ° до радіусу, проведеного в точку дотику. Знайдіть площу перерізу.

2.5. Визначте, яку площу має частину поверхні кулі, яку видно спостерігачеві, що знаходиться на відстані 10 м від нього, якщо радіус повітряної кулі дорівнює 15 м.

2.6. Куля пересічений двома площинами, що проходять через оду точку поверхні кулі і що утворюють кут 60 °. Радіус кулі дорівнює 4 см. Знайдіть площі поверхонь відсікаються сегментів, якщо кола їх підстав мають рівні радіуси.

2.7. Куля стосується граней двогранного кута в 120 °. Відстань від центру кулі до ребра кута дорівнює 10 см. Знайдіть площу поверхні кулі.

2.8. З кулі вирізали кульової шар, товщина якого 9 см, площі підстав 400p см 2 і 49p см 2. Знайдіть обсяги залишилися кульових сегментів.

2.9. Діаметр кулі розділений на чотири рівні частини і через точки поділу проведено січні площині перпендикулярні діаметру. Знайдіть обсяги отриманих частин кулі, якщо його радіус дорівнює R.

2.10. У кулі радіуса R просвердлений циліндричний отвір. Ось циліндра проходить через центр кулі, діаметр отвору дорівнює радіусу кулі. Знайдіть об'єм решти кулі.

3.1. Площині двох перетинів кулі взаємно перпендикулярні. Одна з цих площин проходить через центр, інша віддалена від нього на 12. Загальна хорда перетинів дорівнює 18. Знайдіть суму площ цих перетинів.

3.2. Радіус кулі 15 м. Поза кулі дана точка А на відстані 10м від його поверхні. Знайдіть радіус такої окружності на поверхні кулі, всі крапки якої відстоять від А на 20 м.

3.3. З точки, взятої на поверхні кулі, проведені три рівні хорди, кут між кожною парою яких дорівнює a. Знайдіть довжину хорди, якщо радіус кулі R.

3.4. Два кулі внутрішньо стосуються в точці А, АВ - діаметр більшого з куль, ВС - дотична до меншого з них. Знайдіть радіуси куль, якщо ВС = 20 см, а різниця площ поверхонь куль дорівнює 700p см 2.

3.5. Обчисліть об'єм кулі, радіус якої дорівнює ребру октаедра, що має поверхню площею 10.

3.6. Круговий сектор з кутом 60 ° і радіусом R обертається близько одного з бічних радіусів. Знайдіть об'єм отриманого тіла обертання.