Критерій Лапласа 1

Цей критерій спирається на «принцип недостатнього підстави» Лапласа, згідно з яким всі стану «природи» Si, i = 1, n покладаються рівноімовірними. Відповідно до цього прин-ципом кожномустаном Si, ставиться ймовірність qi визначає-травня по формулі

При цьому вихідною може розглядатися задача прийняття рішення в умовах ризику, коли вибирається дію Rj. дає найбільший очікуваний виграш. Для прийняття рішення для каж-дого дії Rj обчислюють середнє арифметичне значення ви-ігриша:

Серед Mj (R) вибирають максимальне значення, яке буде відповідати оптимальної стратегії Rj.

Іншими словами, знаходиться дію Rj. відповідне

Якщо у вихідній задачі матриця можливих результатів перед- ставлена ​​матрицею ризиків || rji ||, то критерій Лапласа приймає наступний вигляд:

Приклад 4. Одне з транспортних підприємств має визна-ділити рівень своїх провізних можливостей так, щоб удовле-творити попит клієнтів на транспортні послуги на планований період. Попит на транспортні послуги ніхто не знає, але очікується (прогнозується), що він може прийняти одне з чотирьох значень: 10, 15, 20 або 25 тис. Т. Для кожного рівня попиту існує на-най кращих рівень провізних можливостей транспортного підпри-ємства (з точки зору можливих витрат). Відхилення від цих рівнів призводять до додаткових витрат або через переви-щення провізних можливостей над попитом (через простій по-ресувні складу), або через неповне задоволення попиту на транспортні послуги. Нижче наводиться таблиця, яка визначає можливі прогнозовані витрати на розвиток провізних воз-можностей:

Необхідно вибрати оптимальну стратегію.

Згідно з умовою задачі, є чотири варіанти попиту на транспортні послуги, що рівнозначно наявності чотирьох станів «природи»: S1. S2. S3. S4. Відомі також чотири стратегії роз-ку провізних можливостей транспортного підприємства: R1. R2. R3. R4 Витрати на розвиток провізних можливостей при кожній парі Si і Rj задані наступною матрицею (таблицею):

Принцип Лапласа передбачає, що S1. S2. S3. S4 равновероят-ни. Отже, Pi> = 1 / n = 1/4 = 0,25, i = 1, 2, 3, 4 і очікувалося-мі витрати при різних діях R1. R2. R3. R4 складають:

Таким чином, найкращою стратегією розвитку провізних воз-можностей відповідно до критерію Лапласа буде R2.

2. Критерій Вальда (мінімаксний або Максимін крите-рій). Застосування цього критерію не вимагає знання вероятнос-тей станів Si. Цей критерій спирається на принцип наиболь-шей обережності, оскільки він грунтується на виборі наилуч-шей з найгірших стратегій Rj.

Якщо у вихідній матриці (за умовою завдання) результат Vij представляє втрати особи, що приймає рішення, то при виборі оптимальної стратегії використовується мінімаксний критерій. Для визначення оптимальної стратегії Rj необхідно в кожному рядку матриці результатів знайти найбільший елемент maxij>, а потім вибирається дію Rj (рядок j), якому буде відповідати найменший елемент з цих найбільших елементів, т. Е. Дія, що визначає результат, рівний

Якщо у вихідній матриці за умовою задачі результат Vij пред-ставлять виграш (корисність) особи, яка приймає рішення, то при виборі оптимальної стратегії використовується максимина кри-терій.

Для визначення оптимальної стратегії Rj в кожному рядку матриці результатів знаходять найменший елемент min. а потім вибирається дію Rj (рядок j), якому будуть відповідати-вать найбільші елементи з цих найменших елементів, т. е. дія, що визначає результат, рівний

Приклад 5. Розглянемо приклад 4. Так як Vij в цьому прикладі представляє втрати (витрати), застосуємо мінімаксний критерій. Необхідні результати обчислення наведені в наступній таб-особі:

Таким чином, найкращою стратегією розвитку провізних воз-можностей відповідно до мінімаксним критерієм «кращим з гірших» буде третя, т. Е. R3.

Мінімаксний критерій Вальда іноді призводить до нелогічний-ним висновків через свою надмірну «пессимистичности». «Пес-сімістічность» цього критерію виправляє критерій Севіджа.

3. Критерій Севіджа використовує матрицю ризиків || rij ||. Елементи цієї матриці можна визначити за формулами (23), (24), ко-торие перепишемо в наступному вигляді:

Це означає, що rij є різниця між найкращим значени третьому в стовпці i і значеннями Vji при тому ж i. Неза-лежно від того, чи є Vji доходом (виграшем) або втрата-ми (витратами), rji в обох випадках визначає величину втрат чи-ца, що приймає рішення. Отже, можна застосовувати до rji тільки мінімаксний критерій. Критерій Севіджа рекоменду-ет в умовах невизначеності вибирати ту стратегію Rj, при ко-торою величина ризику приймає найменше значення в самій несприятливій ситуації (коли ризик максимальний).

Приклад 6. Розглянемо приклад 4. Задана матриця визна-ляет втрати (витрати). За формулою (31) обчислимо елементи мат-Ріци ризиків || rij ||:

Отримані результати обчислень з використанням крите-рія мінімального ризику Севіджа оформимо в таблиці нижче:

Введення величини ризику rji. привело до вибору першої стратегії гії R1. забезпечує найменші втрати (витрати) в самій не-сприятливої ​​ситуації (коли ризик максимальний).

Застосування критерію Севіджа дозволяє будь-що уникнути великого ризику при виборі стратегії, а значить, уникнути більшого програшу (втрат).

4. Критерій Гурвіца заснований на наступних двох припущень-пах: «природа» може знаходитися в найбільш невигідному стані з ймовірністю (1 - # 945;) і в найвигіднішому стані з ймовірно-стю # 945 ;, де # 945; - коефіцієнт довіри. Якщо результат Vji - прибуток, корисність, дохід і т. П. То критерій Гурвіца записуючи-ється так:

Коли Vji представляє витрати (втрати), то вибирають дію, що дає

якщо # 945; = 0, отримаємо песимістичний критерій Вальда.

якщо # 945; = 1, то приходимо до вирішального правилом виду max max Vji. або до так званої стратегії «здорового оптимізатора-ста», т. е. критерій занадто оптимістичний.

Критерій Гурвіца встановлює баланс між випадками крайнього песимізму і крайнього оптимізму шляхом зважування обох способів поведінки відповідними вагами (1 - # 945;) і # 945 ;, де 0≤ # 945; ≤1. значення # 945; від 0 до 1 може визначатися в залежності від схильності особи, що приймає рішення, до песимізму або до оптимізму. При відсутності яскраво вираженої схильності # 945; = 0,5 представляється найбільш розумною.

Приклад 7. Критерій Гурвіца використовуємо в прикладі 4. Поло-жим # 945; = 0,5. Результати необхідних обчислень наведені нижче:

Оптимальне рішення полягає у виборі W.

Таким чином, в прикладі належить зробити вибір, яке з можливих рішень краще:

за критерієм Лапласа - вибір стратегії R2,

за критерієм Вальда - вибір стратегії R3;

за критерієм Севіджа - вибір стратегії R1;

за критерієм Гурвіца при # 945; = 0,5 - вибір стратегії R1. а ес-ли особа, яка приймає рішення, - песиміст (# 945; = 0), то вибір стратегії R3.

Це визначається вибором відповідного критерію (Лапла-са, Вальда, Севіджа або Гурвіца).

Вибір критерію прийняття рішень в умовах невизначено-сті є найбільш складним і відповідальним етапом в дослі-джень операцій. При цьому не існує будь-яких загальних со-ветовим або рекомендацій. Вибір критерію має виробляти чи-цо, яка приймає рішення (ОПР), з урахуванням конкретної специфи-ки розв'язуваної задачі і відповідно до своїх цілей, а також спираючись на минулий досвід і власну інтуїцію.

Зокрема, якщо навіть мінімальний ризик неприпустимий, то сле-дует застосовувати критерій Вальда. Якщо, навпаки, певний ризик цілком прийнятний і ЛПР має намір вкласти в деякий перед-прийняття стільки коштів, щоб потім воно не жалкував, що вкладений-но занадто мало, то вибирають критерій Севіджа.