Коваріація і коефіцієнт кореляції - студопедія

Нехай є двовимірна випадкова величина (X, Y), розподіл якої відомо, тобто відома спільна щільність ймовірності. Тоді можна знайти математичні очікування і дисперсії одновимірних складових X і Y. Однак математичні очікування і дисперсії випадкових величин X і Y недостатньо повно характеризують двовимірну випадкову величину (X, Y), тому що вони не висловлюють ступеня залежності її складових X і Y. Цю роль виконують ковариация і коефіцієнт кореляції.

Ковариацию або кореляційним моментом Kxy випадкових величин X і Y називається математичне сподівання добутку відхилень цих величин від своїх математичних очікувань, тобто

З визначення випливає, що.

Для дискретних ВВ:

Коваріація двох випадкових величин характеризує як ступінь залежності випадкових величин, так і їх розсіювання навколо точки (ax. Ay). Про це також свідчать властивості ковариации випадкових величин.

1. Ковариация двох незалежних випадкових величин дорівнює нулю.

Для незалежних випадкових величин. Тому формула ковариации для безперервних випадкових величин має вигляд:

,

так як кожен з отриманих інтегралів є центральний момент першого порядку, рівний нулю.

2. Ковариация двох випадкових величин дорівнює математичному очікуванню їх творів мінус твір математичних очікувань.

3. Ковариация двох випадкових величин по абсолютній величині не перевищує добутку їх середніх квадратичних відхилень:

Візьмемо очевидне нерівність

Коваріація характеризує не тільки ступінь залежності двох випадкових величин, але і їх розкид. Коваріація величина розмірна, її розмірність визначається твором розмірностей випадкових величин. Це ускладнює використання коваріації для оцінки ступеня залежності різних випадкових величин, що мають різні розмірності. Такого недоліку позбавлений коефіцієнт кореляції.

Коефіцієнтом кореляції двох випадкових величин називається відношення їх коваріації до твору СКО цих величин:

Властивості коефіцієнта кореляції:

1. Коефіцієнт кореляції приймає значення на відрізку [-1, 1]. Див. Попереднє св-во ковариации.

2. Якщо СВ незалежні, їх коефіцієнт кореляції дорівнює нулю, rxy = 0, тому що Kxy = 0. З незалежності СВ випливає з некоррелірованні. Протилежне твердження невірно: з некоррелированности СВ ще не слід їх незалежність.

3. Якщо коефіцієнт кореляції двох випадкових величин дорівнює (по абсолютній величині) одиниці, то між цими випадковими величинами існує лінійна функціональна залежність.

Скласти програму, яка реалізує наступну функціональність:

1. Вважати з файлу випадкові величини X і Y.

2. За даними варіанту побудувати поле кореляції і за формою поля кореляції зробити висновок про існування і вигляді залежності.

3. Для визначення тісноти кореляційного зв'язку і близькості її до функціональної лінійної або нелінійної залежності використовують коефіцієнт кореляції 4.2:

коефіцієнт кореляції r залежить від розкиду точок і їх числа. При відсутності лінійного зв'язку r близький до нуля. При наявності точної функціональної залежності r = 1. Зазвичай тісноту зв'язку задовільним при r ≥ 0,5.

Для зручності обчислень можна скласти таблицю обчислень (табл. 3.1).

Таблиця 3.1 Розрахунок коефіцієнтів при невідомих системи рівнянь.