Коло дев’яти точок і пряма Ейлера

Розглянемо довільний трикутник. Теорема Ейлера про окружності дев'яти точок говорить: підстави висот, середини сторін і середини відрізків, що з'єднують Ортоцентр - точку перетину висот - з вершинами трикутника, лежать на одному колі - окружності дев'яти точок.

Безперервно змінюючи вихідний трикутник, отримуємо мультфільм.

При гомотетии з центром в ортоцентром трикутника і коефіцієнтом 1/2 описана окружність трикутника переходить в окружність дев'яти точок.

При цій гомотетии центр описаного кола переходить в центр кола дев'яти точок. Отже, центр окружності дев'яти точок - середина відрізка, що з'єднує ортоцентр трикутника з центром його описаного кола.

При гомотетии з центром в точці перетину медіан і коефіцієнтом -1/2 вершини трикутника переходять в середини протилежних сторін. Тому при цій гомотетии висоти переходять в серединні перпендикуляри, а Ортоцентр - в центр описаного кола. Це означає, що центр ваги трикутника (точка перетину його медіан) лежить на відрізку, що з'єднує ортоцентр і центр описаного кола, і розташована вдвічі ближче до центру описаного кола, ніж до ортоцентру.

Таким чином, центр описаного кола, центр ваги, центр окружності дев'яти точок і Ортоцентр лежать на одній прямій - прямій Ейлера.

Ось як змінюється пряма Ейлера при русі вершин трикутника.

А ось так виглядають пряма Ейлера і окружність дев'яти точок, зображені на одному малюнку.

І, нарешті, мультфільм!