Коливання ротора з одним диском

Розглянемо поняття критичної частоти обертання на прикладі простого однодискового ротора, рис. 2

Він складається з пружного невагомого вала на абсолютно жорстких і ідеально врівноваженого диска. Так як ротор є повністю симетричним, будемо розглядати його прогин тільки в площині xy. У цьому випадку положення диска описується двома незалежними координатами (координатою x і координатою q) і ми маємо систему з двома ступенями свободи.

Пружні властивості вала описуються симетричною матрицею коефіцієнтів податливості. Диск має масу, і відповідними моментами інерції.

Мал. 1. Розрахункова схема однодискового ротора

Коливання і стійкість роторів визначається двома видами обертання. Перший вид - обертання площини xy. в якій лежить вигнута вісь вала, навколо осі проходить через точки опор вала з кутовою швидкістю W. Цей вид кругового руху називається прецесією пружною осі ротора. Другий - це власне обертання ротора (вала і диска) навколо зігнутої осі з абсолютною швидкістю w. Швидкості W і w незалежні, співвідношення цих двох швидкостей може бути довільним.

Слід мати на увазі, що прецесія відбувається як правило з частотою, рівній частоті вимушених коливань L. тобто W = L.

В результаті кругового руху центру мас диска в точці кріплення диска до валу виникає неврівноважена сила

де m - маса диска; y - лінійне переміщення диска.

В результаті складного обертального руху з боку диска на вал діє згинальний момент

де Jd -діаметральний момент інерції диска; Jp - полярний момент інерції диска.

Перший доданок являє собою інерційний момент диска від кругового руху площині пружною осі вала, другий член - гіроскопічний момент. Формула може бути записана у вигляді

де - безрозмірна величина.

Коефіцієнт А називається коефіцієнтом прецесіі, його величина залежить від виду прецесії, що задається коефіцієнтом s т. Е. Від співвідношення швидкостей W і w.

Для оцінки стійкості ротора необхідно визначити можливість існування прецесійного руху ротора при відсутності зовнішніх сил, що обурюють. При такому русі внутрішні сили і моменти пружності вала повністю врівноважуються виникають інерційними силами і моментами.

Умови при яких можливі такі прецесії, є умовами втрати стійкості ротора, так як несуча здатність вала стає рівною нулю.

Припустимо ротор може здійснювати вільне прецесіонное рух. Прогин вала і кут повороту під дією інерційних сил і моментів визначається рівняннями

де a11. a12. a22 коефіцієнти впливу (піддатливості).

Замінюючи сили і моменти їх значеннями за вищенаведеними формулами отримуємо систему з двох однорідних рівнянь

Ці однорідні рівняння мають рішення відмінні від нуля за умови, що визначник, складений з коефіцієнтів при невідомих цих рівнянь, дорівнює нулю:

Розкриваючи визначник і підставляючи А отримаємо наступне частотне рівняння

Його коріння (значення W і s) визначають види прецесії і чисельні значення швидкостей W і w. при яких ротор втрачає стійкість.

У рівнянні (8) величина залежить від виду прецесії. Для прямої синхронної прецесії = 1. Для зворотної синхронної прецесії = -1. Рівняння має незліченну кількість рішень, так як s може приймати будь-які значення. Ці рішення можна представити у вигляді діаграми співвідношення швидкостей W і w. (Частотної діаграми), рис.2.

На частотної діаграмі по осі ординат також може бути відкладена величина L - частота вимушених коливань.

Мал. 2. Частотна діаграма однодискового ротора

Щоб розрахувати частоти власних коливань і побудувати можна прийняти наступні значення. = 2; 1; 0.3; 0.0; -0,5; -1; -2. Підставляючи ці величини в рівняння (8) і вирішуючи його, для кожного виду прецесії отримаємо частоти власних коливань.

Для того, щоб знайти значення критичних швидкостей. необхідно отримані значення помножити на. Після чого можна побудувати діаграму залежностей

Горизонтальні асимптоти виходять з умов

Рівняння для знаходження похилій асимптоти

тобто похила асимптота проходить через початок координат під кутом

Коефіцієнти впливу для даної роторної системи можуть бути визначені за наступними формулами:

E - модуль пружності матеріалу вала;

J - момент інерції поперечного перерізу вала;

L1 - довжина консольного ділянки вала;

L - довжина всього валу.

Аналіз частотної діаграми дозволяє зробити наступні дуже важливі висновки.

1. Частота власних коливань ротора залежить від частоти обертання ротора. Цей феномен пояснюється дією гіроскопічного моменту, що виникає при обертанні ротора з дисками.

2. На ротор можуть діяти як зовнішні сили, так і внутрішні, що виникають при обертанні, внаслідок залишкових дисбалансів. Для того, щоб спроектувати ротор з низькою віброактивність, необхідно знати співвідношення між частотами збуджуючих сил і частотами власних коливань.

3. Якщо частота збуджуючої сили збігається з частотою власних коливань ротора, то настає явище резонансу, яке супроводжується великими вібраціями - великими прогинами вала ротора, навантаженнями в опорах.

4. Частота обертання ротора, збігається з частотою власних коливань, називається критичною частотою обертання, так як на цій швидкості ротора виникає резонанс - частота збудження від неврівноваженої сили збігається з частотою власних коливань. Неврівноважені сили, як правило, викликають пряму синхронну прецесію.

5. Для того, щоб визначити частоту обертання ротора, на якій виникає резонанс системи, необхідно з початку координат провести промінь під кутом до перетину з кривими частот власних коливань. Для визначення критичної частоти обертання, коли. промінь проводиться під кутом 45 градусів.

1. Хронін Д.В. Коливання в двигунах літальних апаратів. - М. Машинобудування, 1980 г.