Кінематика поступального руху матеріальної точки

Механіка є вчення про простій формі руху матерії, яке складається в переміщенні тіл або їх частин одна відносно одної. Кінематика вивчає рух тіл незалежно від тих причин, які обумовлюють цей рух.

Іноді при розгляді руху тіл можна знехтувати їх розмірами. Тіло, розмірами якого в умовах даної задачі можна знехтувати, називається матеріальною точкою.

Поступальний рух - це такий рух, при якому будь-яка пряма, пов'язана з рухомим тілом, залишається паралельною самій собі.

Матеріальна точка при своєму русі описує деяку лінію - траєкторію.

Шлях (S) - це довжина траєкторії.

Якщо тіло рухається з точки 1 в точку 2, то вектор, проведений з точки 1 в точку 2, називається переміщенням ().

Векторний спосіб опису руху.

Положення матеріальної точки в просторі можна задати за допомогою її радіус-вектора. При русі точки кінець радіус-вектора описує її траєкторію, а сам змінюється і по величині, і по напрямку.

= (T) - кінематичний закон руху точки (рівняння траєкторії).

Нехай тіло рухається з точки з радіус-вектором 1 в точку з радіус-вектором 2. За час Dt воно зробить переміщення D = 2 - 1 і пройде шлях, рівний DS (див. Рис.).

При нескінченно малому переміщенні нескінченно малий проміжок часу можна позначити як dt. тоді ½d ½ = dS.

Швидкість - це межа, до якого прагне відношення при необмеженій убуванні Dt:

Модуль швидкості. v = ½ ½ =. (1.3.14)

Вектор швидкості спрямований по дотичній до траєкторії.

Рух, при якому швидкість, змінюючись як завгодно у напрямку, залишається постійною за величиною, називається рівномірним. При такому русі швидкість дорівнює шляху S. поділеній на час t. за яке він пройдено:

Якщо під час руху тіла змінюється величина швидкості, то такий рух називають прискореним.

Прискорення визначається як межа, до якого прагне відношення приросту вектора швидкості D до проміжку часу Dt. за який воно виникає, за умови, що Dt ®0:

Прямолінійний рух з постійним прискоренням називається равнопеременное.

Кінематика руху матеріальної точки з постійним прискоренням:

Пряма задача кінематики дозволяє знайти при заданому рівнянні траєкторії швидкість і прискорення матеріальної точки:

Зворотній завдання кінематики дозволяє знайти при заданих прискоренні або швидкості рівняння траєкторії матеріальної точки:

Координатний спосіб опису руху.

Якщо з тілом відліку жорстко зв'язати якусь координатну систему (наприклад, декартову), то положення частинки (матеріальної точки) в будь-який момент часу визначається трьома її координатами x (t), y (t), z (t):

Формули для визначення пройденого шляху, модулів швидкості частинки і її прискорення:

Зворотній завдання кінематики:

Кінематика руху матеріальної точки з постійним прискоренням:

У разі руху матеріальної точки по довільної плоскої кривої вектор повного прискорення дорівнюватиме

Вектор t - тангенціальне прискорення. Він характеризує зміну швидкості за величиною. Якщо швидкість за величиною не змінюється, тангенціальне прискорення дорівнює нулю і = n.

Вектор n - нормальне (доцентрове) прискорення. Він характеризує зміну швидкості частки у напрямку. Якщо напрямок швидкості не змінюється, рух відбувається по прямолінійно траєкторії. Кривизна прямий дорівнює нулю (R = = ¥).

Модуль повного прискорення:

Між лінійними і кутовими величинами існує наступна зв'язок:

Тут w - кутова швидкість тіла, e - кутове прискорення.

Приклад 10. Радіус-вектор частинки змінюється з часом за законом. де А = 1 м / с 2. В = 2 м / с, С = 1 м. Частка рухається з початку координат. Знайти через 2 секунди після початку руху: 1) шлях, пройдений частинкою; 2) величину швидкості частинки; 3) величину прискорення частинки.

Рішення. Шлях, пройдений частинкою за 2 секунди після початку руху знайдемо з (1.3.23) з урахуванням (1.3.21):

Підставимо отримані значення координат частинки в (1.3.23) і розрахуємо пройдений частинкою шлях:

Величину швидкості і прискорення частинки через вказаний в умові завдання проміжок часу також знайдемо, використовуючи формулу (1.3.23) з урахуванням (1.3.22):

v = (4 2 + 2 2 + 0 2) 1/2 = 4,5 (м / с).

a = (2 + 2 + 0 2 + 0 2) 1/2 = 2 (м / с 2).

Відповідь: 5,7 м; 4,5 м / с; 2 м / с 2.

Приклад 11. Частка почала рух з початку координат по плоскій криволінійної траєкторії радіуса 1 м. Радіус-вектор частинки залежить від часу за законом. де А = 1 м / с 3. В = 2 м / с, С = 3 м. Знайти модуль нормального прискорення частинки через 1 секунду після початку руху.

Рішення. Модуль нормального прискорення знайдемо за допомогою формули (1.3.30), враховуючи (1.3.23) і (1.3.22):

. а проекції швидкостей на осі координат

Підставами в вищенаведені формули числові дані, отримаємо:

1.3.6. Кінематика обертального руху навколо нерухомої осі

Абсолютно тверде тіло (АТТ) - це система частинок, відстані між якими в процесі руху тіла незмінні.

Будь-яке рух твердого тіла можна розкласти на два основних руху - поступальний і обертальний.

При обертальному русі всі точки тіла рухаються по колах, центри яких лежать на одній і тій же прямій, званої віссю обертання. Вісь обертання може перебувати поза тілом.

Радіус-вектор кожної точки (вектор, проведений з центру відповідної окружності в дану точку) повертаються за час Dt на один і той же кут Dj - кут повороту твердого тіла.

Поворот тіла на деякий кут (нескінченно малий) dj задають у вигляді відрізка, довжина якого дорівнює dj. а напрямок збігається з віссю, навколо якої здійснений поворот.

Вектори типу. напрямок яких пов'язується з напрямком обертання (або обходу), називають аксіальним векторами.

називається кутовою швидкістю АТТ. Вектор спрямований (як і) уздовж осі, навколо якої обертається тіло в сторону, яка визначається правилом правого гвинта, і являє собою псевдовектор.

При рівномірному обертанні

При одному повному обороті на час t = T тіло повертається на кут j = 2p:

де Т - період обертання.

Число оборотів в одиницю часу називається частотою обертання:

При нерівномірному обертанні говорять, що тіло обертається з прискоренням (кутовим)

При збільшенні кутової швидкості з часом вектор кутовий швидкості і вектор кутового прискорення сонаправлени (прискорений рух). У разі уповільненого руху ці вектори протівонаправлени.

Зворотній завдання кінематики обертального руху:

Для рівноприскореного (равнозамедленно) обертання:

Приклад 12. Частка зі стану спокою початку прискорене обертання по колу радіуса 1 м, кут повороту залежить від часу за законом j (t) = Аt 3. Знайти через 1 секунду після початку руху: 1) ставлення тангенціального і нормального прискорень; 2) величину повного прискорення частинки. А = 1 рад / с 3.

Рішення. Тангенціальне і нормальне прискорення частинки знайдемо за допомогою формул (1.3.28) і (1.3.30) з урахуванням (1.3.29), (1.3.31) і (1.3.35):

Нормальне прискорення: an = v 2 / R. зв'язок між лінійною і кутовою швидкостями: v = wR = 3 (м / с), тому an = 3 2/1 = 9 (м / с 2).

Ставлення тангенціального і нормального прискорень:

Повний прискорення частинки знайдемо з (1.3.27):

= (9 2 + 6 2) 1/2 = 10,8 (м / с 2).

Відповідь: 0,67; 10,8 м / с 2.

Приклад 13. Диск радіуса 1 м почав обертатися навколо своєї осі так, що кут його повороту залежить від часу за законом

j (t) = Аt 3 - Вt 2. Через скільки секунд диск зупиниться, якщо

А = 1 рад / с 3. В = 1 рад / с 2?

А = 1 рад / с 3. В = 1 рад / с 2.

Рішення. Час зупинки диска знаходимо з умови, що його кінцева кутова швидкість дорівнює нулю: w = 0.

Обертання диска за умовою задачі не є равнопеременное, тому для знаходження залежності кутової швидкості від часу використовуємо формулу (1.3.31):

Тепер використовуємо умову рівності нулю кутової швидкості, прирівнявши до нуля отриманий вираз, і знайдемо час зупинки диска:

Маємо два кореня рівняння:

Відповідь: диск зупиниться через 0,67 секунди.