Я 11 додатка похідною

Лекція № 11 «Програми похідної до дослідження функції»

Змінну величину називають монотонною, якщо вона через змінюється тільки в одному напрямку, тобто або тільки возрас-тане, або тільки убуває. Очевидно, що рух точки х в сторону позитивного напрямку осі абсцис є монотонно зростаючим, а в протилежну сторону - монотонно убуває.

Мал. 3. Графіки монотонно зростаючій і монотонно спадної функцій.

Природно, що інтервал (а, b) предпола-гается узятим з області визначення функції.

Достатній ознака зростання (спадання) функції. Якщо функція у = f (х) диференційовна на інтервалі

для всіх

(при цьому

може бути дорівнює 0 в окремих точках проміжку

), То функціявозрастает на

; а якщо

(Або дорівнює 0 в окремих точках проміжку

), То функціяубивает на цьому інтервалі. якщо

для всіх

, тоf (х) = const на цьому інтервалі.

Кажуть, що функція у = f (х) має локальний мінімум в точці х0є [а; b]. якщо існує околиця точки х0, цілком міститься в [а; b] і така, що для будь-якого х. прінадлежащія-го цієї околиці, виконується нерівність f (х)> f (х0).

Достатній ознака екстремуму функції. Критична точка (внутрішня точка області визначення функції, в якій похідна цієї функції дорівнює нулю або не існує) є точкою екстремуму функції. якщо в околиці цієї точки похідна змінює знак, причому точкою максимуму. якщо похідна змінює знак з «+» на «-», і точкою мінімуму. якщо похідна змінює знак з «-» на «+».

Найбільше (найменше) значення неперервної функції у = f (х) на відрізку [а; b] досягається або в одній з критичних точок, або в одній з граничних точок даного відрізку.

Кажуть, що функція у = f (х) опукла вгору в точці х0. якщо існує околиця точки х0 така, що для всіх її точок х дотична до графіка функції в точці М0 (х0. у0) лежить вище графіка (рис. 4а). Кажуть, що функція у = f (х) опукла вниз в точці х0. якщо існує околиця точки х0 така, що для всіх її точок х дотична до графіка функції а точці М0 (х0; у0) лежить нижче графіка (рис. 4б).

Якщо на деякому проміжку (а; b) всі дотичні до гра-фіку функції у = f (х) лежать вище (відповідно нижче) самого графіка, то на даному проміжку функція опукла вгору (відповідно опукла вниз).

Мал. 4. Графіки опуклою функції

Відшукання інтервалів опуклості і точок перегину

Достатня умова опуклості функції на інтервалі. Якщо друга похідна f "(х) існує на інтервалі (а, b) і не змінює знак на цьому інтервалі, то:

1) при f "(х)> 0 (знак +) функція f (х) опукла вниз на інтер-валі (а; b);

2) при f "(х) <0 (знак - ) функция f(х) выпукла вверх на интервале (а;b).

Таким чином, для знаходження інтервалів опуклості вгору і опуклості вниз функції потрібно знайти другу вироб-водну і вирішити нерівності f "(х) <0 и f"(х)> 0.

Точка М0 (х0; f (х0)) графіка функції у = f (х) на-ни опиняються точкою перегину цього графіка, якщо існує та-кая околиця точки х0, в межах якої графік функції у = f (х) зліва і праворуч від т. М0 має різні напрямки ви-пуклості.

На рис. 5 зображено графік функції, що має перегин у точці М0 (х0; f (х0)).

Мал. 5. Графік функції, що має перегин

Необхідна ознака існування точки перегину. Якщо функція в точці х0 має перегин, то друга похідна в цій точці або не існує, або дорівнює нулю.

Точки, в яких друга похідна звертається в нуль або не існує, називають критичними точками II-го роду. У цих точках перегин може бути, а може і не бути. Це питання ре-шается за допомогою наступного ознаки.

Достатній ознака існування точки перегину. Нехай функція визначена і неперервна в деякому околі точки х0. включаючи саму точку. Нехай, далі, друга виробниц-ва в цій точці дорівнює нулю або не існує. Тоді, якщо f "(х) <0 при х <х0 и f"(х)> 0 при х> х0 або f "(х)> 0 при х <х0 и f"(х) <0 при х> х0. то М0 (х0. (f (х0)) є точкою перегину кривої у = f (х).

Зразки дослідження функцій

Безперервність. Асимптоти. Так як функція

є елементарною, то вона неперервна в кожній точці своєї області визначення, тобто на всій числовій прямій. З'ясуємо поведінку функції на кінцях області визначення.