Інтервали монотонності функції точки екстремуму умова монотонності

Інтервалимонотонності функції. Точки екстремуму.

Умова монотонності. Якщо диференційована функція зростає на інтервалі, то на. Якщо диференційована функція убуває на інтервалі, то на.

Точка називається точкою мінімуму функції, якщо існує таке, що для всіх, що лежать в інтервалі і, вірно нерівність.

Точка називається точкою максимуму функції, якщо існує таке, що для всіх, що лежать в інтервалі і, вірно нерівність.

Точки мінімуму і максимуму називаються точками екстремуму функції.

Критичними точками функції називаються точки, де похідна дорівнює нулю або не існує.

Достатні умови екстремуму.

1. Якщо при переході через критичну точку функції перша похідна змінює знак і функція неперервна в точці, то в точці функція має екстремум. Причому, якщо знак змінюється з «+» на «-», то - точка максимуму; якщо знак змінюється з «-» на «+», то - точка мінімуму.

2. Якщо в критичній точці функції друга похідна не дорівнює нулю і функція неперервна в точці, то в точці функція має екстремум. Причому, якщо в точці друга похідна позитивна, то - точка мінімуму; якщо в точці друга похідна негативна, то - точка максимуму.

Інтерваливогнутості і опуклості графіка функції.

Графік функції називається опуклим на, якщо дотична до кривої в будь-якій точці лежить вище цієї кривої (рис.9).

Графік функції називається увігнутим на, якщо дотична

Інтервали монотонності функції точки екстремуму умова монотонності

до кривої в будь-якій точці лежить нижче цієї кривої (рис.9).

Достатня умова опуклості. Якщо функція двічі диференційована на і для всіх, то графік є опуклим на.

Достатня умова угнутості. Якщо функція двічі диференційована на і для всіх, то графік є увігнутим на.

Точка, в якій змінюється увігнутість графіка функції на опуклість або опуклість на увігнутість називається точкою перегину.

Точкою перегину функції є точка, в якій функція неперервна і

друга похідна дорівнює нулю або не існує;

при переході через точку змінюється знак другої похідної.

ФУНКЦІЇ ДВОХ ЗМІННИХ

Функція двох змінних і задана, якщо кожній парі чисел і з деякою області за певним законом поставлено у відповідність значення. Змінні і є незалежними, а - залежною змінною (функція).

Областю визначення функції є безліч точок, в яких функція визначена.

Число А називається границею функції точці, якщо для будь-якого існує таке, що якщо відстань між точками і менше, то:

Похідна від функції по, знайдена в припущенні, що залишається постійним, називається приватної похідною від по і позначається або:

Приватними похідними 2-го порядку функції називаються приватні похідні від її приватних похідних першого порядку:

- друга похідна по;

- друга мішана похідна по;

- друга мішана похідна по.

Змішані приватні похідні рівні між собою за умови, що вони неперервні:.

Диференціали функції двох змінних:

- приватний диференціал по функції;

- повний диференціал функції.

Нехай функція двох змінних задана неявно. . Якщо існують безперервні похідні,, і, то неявна функція має частинні похідні і, що визначаються формулами:

Дотичній площиною до поверхні в точці (точка дотику) називається площина, яка містить в собі всі дотичні до кривих, проведеним на поверхні через точку.

Нормаллю до поверхні в точці називається пряма, перпендикулярна дотичній площині в точці і проходить через точку дотику.

Якщо поверхня задана в явному вигляді, то рівняння дотичної площини в точці має вигляд:

а рівняння нормалі:

Якщо поверхня задана в неявному вигляді, то рівняння дотичної площини в точці має вигляд:

а рівняння нормалі:

Екстремуми функції двох змінних.

Точка називається точкою мінімуму функції, де, якщо в деякій -окрестності точки для всіх вірно нерівність.

Точка називається точкою максимуму функції, де, якщо в деякій -окрестності точки для всіх вірно нерівність.

Точки мінімуму і максимуму називаються точками екстремуму функції.

Необхідна умова екстремуму. Якщо диференційована функція має екстремум в точці, то її приватні похідні по і по в цій точці дорівнюють нулю:

Точки, де приватні похідні функції по і по дорівнюють нулю, називаються стаціонарними.

Критичними точками функції називаються точки, де приватні похідні по і по дорівнюють нулю або хоча б одна з них не існує.

Достатня умова екстремуму. Нехай - критична точка функції. Позначимо значення других похідних:, і. тоді

1) якщо, то - точка екстремуму функції, причому - точка максимуму при і - точка мінімуму при;

2) якщо, то в екстремуму немає;

3) якщо, то потрібне додаткове дослідження.

Основні методи інтегрування.

I. Безпосереднє інтегрування полягає у приведенні даного інтеграла до одного або декількох табличних інтегралів за допомогою властивостей невизначеного інтеграла, а також за допомогою різних формул (в тому числі тригонометричних) і тотожних алгебраїчних перетворень підінтегральної функції.

II. Метод підбиття під знак диференціала полягає в тому, щоб в подинтегрального вираженні знайти або створити деяку функцію так, щоб все підінтегральний вираз записувалося через виділену функцію:

III. Метод заміни змінної полягає в наступному рівність:

IV. Нехай функції і неперервні разом зі своїми похідними, тоді справедлива формула інтегрування частинами:

Формула інтегрування частинами може бути застосована до будь-яких безперервним функцій, але дозволяє ефективно обчислити невизначений інтеграл тільки для спеціальних класів функцій:

1. Якщо інтеграл має вигляд:

, де - многочлен ступеня,

то в якості необхідно взяти, а в якості взяти решту множники подинтегрального вираження, тобто

2. Якщо інтеграл має вигляд:

, де - многочлен ступеня,

то вважаємо, а все інше за, тобто

3. Якщо інтеграл має вигляд: або, то формула інтегрування частинами в цьому випадку застосовується двічі, потім первинний інтеграл виражається алгебраїчно. Це циклічне інтегрування.

V. Інтегрування раціональних дробів.

Вираз виду, де і - два многочлена ступенів і відповідно (і - натуральні числа) називається раціональним дробом. При цьому, якщо, то дріб називається правильною. в іншому випадку, якщо - дріб називається неправильним.

Найпростіші правильні раціональні дроби:

1) - найпростіша дробьюIвіда;

3) - найпростіша дробьIIIвіда (- не має дійсних коренів, то є);

4) - найпростіша дробьIVвіда (- не має дійсних коренів;).

Кожна правильна дріб представимо у вигляді суми кінцевого числа найпростіших дробів. При цьому, якщо знаменник розкладений на множники:

де - натуральні числа і, то

Схема інтегрування раціональних дробів:

Якщо дріб неправильна, треба уявити її у вигляді суми многочлена та правильного дробу;

Розклавши знаменник правильної раціональної дробу на множники, уявити її у вигляді суми найпростіших раціональних дробів;

Проінтегрувати многочлен і отриману суму найпростіших дробів.

VI. Інтегрування ірраціональних функцій.

1. Обчислення інтегралів виду:

де - раціональна функція, - натуральне число, - постійні дійсні числа.

Даний інтеграл обчислюється за допомогою підстановки

2. Обчислення інтегралів виду:

де - натуральні числа.

Інтеграл обчислюється за допомогою підстановки

де - загальний знаменник дробів. При цьому інтеграл вийде простіше, якщо - найменший спільний знаменник цих дробів.

VII. Інтегрування деяких виразів, що містять тригонометричні функції.

1. Якщо підінтегральної функції можна представити у вигляді добутку парних ступенів синуса і косинуса, при цьому хоча б один з показників негативний, то після перетворення можна отримати під інтегралом опцію залежно від або і потім інтегрувати, враховуючи, що

Дану підстановку використовують, якщо підінтегральна функція є раціональною функцією від, при цьому

Якщо підінтегральна функція змінює лише знак при заміні на, тобто =, тоді може бути застосована підстановка. При цьому

5.Вичісленіе інтегралів виду

Деякі окремі випадки:

а) Нехай аргументи у синуса і косинуса однакові, при цьому і - цілі невід'ємні числа і, по крайней мере, одне з них парне.

Якщо - непарне число, то інтеграл зручно обчислити за допомогою підстановки. При цьому використовується тотожність для перетворення подинтегрального вираження.

Якщо - непарне число, то інтеграл можна обчислити за допомогою підстановки. При цьому .

б) Якщо і - парні невід'ємні числа, тоді при обчисленні інтеграла зручно перетворити підінтегральний вираз за допомогою формул «зниження ступеня» і синуса подвійного кута:

6.Вичісленіе інтегралів від добутку тригонометричних функцій:

При обчисленні інтегралів такого виду зручно замінити твір функцій на суму, використовуючи рівності:

7.Універсальная тригонометрическая підстановка:

При даній підстановці отримуємо

Нехай на відрізку визначена неперервна функція. Відрізок довільними точками розділений на часткових відрізків,, ...,, і - найбільша з довжин цих відрізків:, де,. Точки - довільні точки з відрізків. Тоді якщо інтегральна сума має межу при і, який не залежить ні від способу розбиття відрізка, ні від вибору точок (), то ця межа називають визначеним інтегралом від функції на відрізку:

Основні властивості визначеного інтеграла:

Методи обчислення визначеного інтеграла.