інтерполяція сплайнами

Сплайн - гладка крива, що проходить через заданий-ні точки (хі. Yi), i = 0, 1. п. Інтерполяція спла-нами полягає в тому, що на кожному відрізку [хi-1. xi] використовується многочлен певної міри. Найбільш часто застосовується многочлен третього ступеня, рідше - другої або четвертої. При цьому для визначення коефіцієнтів многочленів використовуються умови неодмінно-ривності похідних у вузлах інтерполяції.

Інтерполяція кубічними сплайнами є локальною інтерполяцію, коли на кожному відріз-ке [хi-1. xi], i = 1, 2. п застосовується кубічна кри-вая, яка задовольнить деяким умовам гладкості, а саме, безперервності самої функції і її першої і вто-рій похідних в вузлових точках. Використання кубі-чеський функції викликано наступними міркуваннями. Якщо припустити, що інтерполяціонная крива соот-ветствует пружною лінійці, закріпленої в точках (хi. Yi), то з курсу опору матеріалів відомо, що ця крива визначається як рішення диференціального рівняння f (IV) (x) = 0 на відрізку [ХІ 1. xi] (для простоти через розкладання ми не розглядаємо питання, пов'язані з фізичним-тичними размерностями). Спільним рішенням такого уравне-ня є многочлен 3-го ступеня з довільними коефіцієнтами, який зручно записати у вигляді
Si (x) = аi + bi (х - xi-1) + сi (x - xi-1) 2 + di (x - xi-1) 3,
хi-1 £ х £ хi. i = 1, 2. п. (4.32)

Коефіцієнти функцій Si (x) визначаються з усло-вий безперервності функції і її першої та другої вироб-водних у внутрішніх вузлах xi, i = 1, 2. п - 1.

Умови безперервності інтерполяційної функції записуються в вигляді Si (xi) = Si-1 (xi), i = 1, 2. n - 1 і з умов (4.33) і (4.34) випливає, що вони здійсненні.

Знайдемо похідні функції Si (x):

Умови безперервності похідних приводять до рівнянь

Всього маємо 4n - 2 рівнянь для визначення 4n НЕ-відомих. Щоб отримати ще два рівняння, викорис-товують додаткові крайові умови, наприклад, требо-вання нульової кривизни інтерполяційної кривої в кінцевих точках, т. Е. Рівності нулю другої виробниц-ної на кінцях відрізка [а. b] а = х0. b = хn:

Систему рівнянь (4.33) - (4.37) можна спростити і отримати рекурентні формули для обчислення коеф-фициент сплайна.

З умови (4.33) маємо явні формули для обчислити-ня коефіцієнтів ai:

Покладемо сn + 1 = 0, тоді для di отримаємо одну формулу:

Підставами вираження для аi і di в рівність (4.34):

Виключимо з рівнянь (4.35) коефіцієнти bi і di за допомогою (4.39) і (4.40):

Звідси отримаємо систему рівнянь для визначення сi:

Система рівнянь (4.41) може бути переписана у вигляді

Тут введено позначення

Вирішимо систему рівнянь (4.42) методом прогонки. З першого рівняння висловимо с2 через с3:

Підставами (4.43) у друге рівняння (4.42):