Інтегрування раціональних дробів - студопедія

Визначення: елементарними називаються дроби наступних чотирьох типів:

m, n - натуральні числа (m ³ 2, n ³ 2) і b 2 - 4ac <0.

Перші два типи інтегралів від елементарних дробів досить просто наводяться до табличних підстановкою t = ax + b.

Розглянемо метод інтегрування елементарних дробів виду III.

Інтеграл дроби виду III може бути представлений у вигляді:

Тут в загальному вигляді показано приведення інтеграла дроби виду III до двох табличних інтегралів.

Розглянемо застосування зазначеної вище формули на прикладах.

Взагалі кажучи, якщо у трехчлена ax 2 + bx + c вираз b 2 - 4ac> 0, то дріб за визначенням не є елементарною, однак, тим не менш її можна інтегрувати зазначеним вище способом.

Розглянемо тепер методи інтегрування найпростіших дробів IV типу.

Спочатку розглянемо окремий випадок при М = 0, N = 1.

Тоді інтеграл виду можна шляхом виділення в знаменнику повного квадрата представити у вигляді. Зробимо наступне перетворення:

Другий інтеграл, що входить в цю рівність, будемо брати по частинах.

Для вихідного інтеграла отримуємо:

Отримана формула називається рекуррентной. Якщо застосувати її n-1 раз, то вийде табличний інтеграл.

Повернемося тепер до інтеграла від елементарної дроби виду IV в загальному випадку.

В отриманому рівність перший інтеграл за допомогою підстановки

2 + s приводиться до табличному. а до другого інтеграла застосовується розглянута вище рекуррентная формула.

Незважаючи на гадану складність інтегрування елементарної дроби виду IV, на практиці його досить легко застосовувати для дробів з невеликим ступенем n. а універсальність і спільність підходу уможливлює дуже просту реалізацію цього методу на ЕОМ.

Для того, щоб проинтегрировать раціональну дріб необхідно розкласти її на елементарні дроби.

Теорема: Якщо - правильна раціональна дріб, знаменник P (x) якої представлений у вигляді добутку лінійних і квадратичних множників (відзначимо, що будь-який многочлен з дійсними коефіцієнтами може бути представлений в такому вигляді: P (x) = (x - a) a ... (x - b) b (x 2 + px + q) l ... (x 2 + rx + s) m), то ця частина може бути розкладена на елементарні за наступною схемою:

При інтегруванні раціональних дробів вдаються до розкладання вихідної дробу на елементарні. Для знаходження величин Ai. Bi. Mi. Ni. Ri. Si застосовують так званий метод невизначених коефіцієнтів. суть якого полягає в тому, що для того, щоб два многочлена були тотожно рівні, необхідно і достатньо, щоб були рівні коефіцієнти при однакових степенях х.

Застосування цього методу розглянемо на конкретному прикладі.

Наводячи до спільного знаменника і прирівнюючи відповідні числители, отримуємо:

Оскільки дріб неправильна, то попередньо слід виділити у неї цілу частину:

Розкладемо знаменник отриманої дробу на множники. Видно, що при х = 3 знаменник дробу перетворюється в нуль. тоді:

Таким чином 3x 3 - 4x 2 - 17x + 6 = (x - 3) (3x 2 + 5x - 2) = (x - 3) (x + 2) (3x - 1). тоді:

Для того, щоб уникнути при знаходженні невизначених коефіцієнтів розкриття дужок, угруповання і рішення системи рівнянь (яка в деяких випадках може виявитися досить великий) застосовують так званий метод довільних значень. Суть методу полягає в тому, що в отримане вище вираз підставляються по черзі кілька (за кількістю невизначених коефіцієнтів) довільних значень х. Для спрощення обчислень прийнято в якості довільних значень приймати точки, при яких знаменник дробу дорівнює нулю, тобто в нашому випадку - 3, -2, 1/3. отримуємо: