Інтегрування деяких дробів
Головна | Про нас | Зворотній зв'язок
На даному уроці ми навчимося знаходити інтеграли від деяких видів дробів. Для успішного засвоєння матеріалу Вам повинні бути добре зрозумілі викладки статей Невизначений інтеграл. Приклади рішень і Метод заміни змінної в невизначеному інтегралі.
Як уже зазначалося, в інтегральному численні немає зручної формули для інтегрування дробу:
.
І тому спостерігається сумна тенденція: чим «наворочені» дріб, тим важче знайти від неї інтеграл. У зв'язку з цим доводиться вдаватися до різних хитрощів, про які зараз і розповімо.
Метод розкладання чисельника
Знайти невизначений інтеграл
На уроці Невизначений інтеграл. Приклади рішень ми позбавлялися від добутку функцій в подинтегрального вираженні, перетворюючи її в суму, зручну для інтегрування. Виявляється, що іноді в суму (різницю) можна перетворити і дріб!
Аналізуючи підінтегральної функції, ми помічаємо, що і в чисельнику і в знаменнику у нас знаходяться многочлени першого ступеня: x і (x +3). Коли в чисельнику і знаменнику знаходяться многочлени однаковою мірою, то допомагає наступний штучний прийом: в чисельнику ми повинні самостійно організувати таке ж вираження, що і в знаменнику:
Міркування може бути наступним: «У чисельнику треба організувати (x + 3), щоб привести інтеграл до табличних, але якщо я додам до« Іксу »трійку, то, для того, щоб вираз не змінилося - я зобов'язаний відняти таку ж трійку».
Тепер можна почленно розділити чисельник на знаменник:
В результаті ми домоглися того, чого і хотіли. Використовуємо перші два правила інтегрування:
Готово. Перевірку при бажанні виконайте самостійно. Зверніть увагу, що
у другому інтегралі - це «проста» складна функція. Особливості її інтегрування обговорювалися на уроці Метод заміни змінної в невизначеному інтегралі.
До речі, розглянутий інтеграл можна вирішити і методом заміни змінної, позначаючи. але запис рішення вийде значно довше.
Знайти невизначений інтеграл
Це приклад для самостійного рішення. Слід зауважити, що тут метод заміни змінної вже не пройде.
Увага, важливо! Приклади №№1,2 є типовими і зустрічаються часто.
В тому числі, подібні інтеграли нерідко виникають в ході вирішення інших інтегралів, зокрема, при інтегруванні ірраціональних функцій (коренів).
Розглянутий прийом працює і в разі, якщо старша ступінь чисельника більше старшого ступеня знаменника.
Знайти невизначений інтеграл
Починаємо підбирати чисельник. Алгоритм підбору чисельника приблизно такий:
1) В чисельнику нам потрібно організувати 2x -1, але там x 2. Що робити? Роблю висновок 2x -1 в дужки і множу на x. як: x (2x -1).
2) Тепер пробуємо розкрити ці дужки, що вийде? Вийде: (2x 2 -x). Вже краще, але ніякої двійки при x 2 спочатку в чисельнику немає. Що робити? Потрібно помножити на (1/2), отримаємо:
3) Знову розкриваємо дужки, отримуємо:
Вийшов потрібний x 2. Але проблема в тому, що з'явилося зайве доданок (-1/2) x. Що робити? Щоб вираз не змінилося, ми зобов'язані додати до своєї конструкції це ж (1/2) x:
. Жити стало легше. А чи не можна ще раз в чисельнику організувати (2x -1)?
4) Можна. Пробуємо:. Розкриваємо дужки другого доданка:
. Вибачте, але у нас було на попередньому кроці (+1/2) x. а не (+ x). Що робити? Потрібно помножити другий доданок на (+1/2):
5) Знову для перевірки розкриваємо дужки в другому доданку:
. Ось тепер нормально: отримано (+1/2) x з остаточної конструкції пункту 3! Але знову є маленьке «але», з'явилося зайве доданок (-1/4), значить, ми зобов'язані додати до свого висловом (1/4):
Якщо все виконано правильно, то при розкритті всіх дужок у нас повинен вийти вихідний чисельник підінтегральної функції. перевіряємо:
Готово. В останньому доданку ми застосували метод підведення функції під диференціал.
Якщо знайти похідну від відповіді і привести вираз до спільного знаменника, то у нас вийде в точності вихідна подинтегральная функція
Розглянутий метод розкладання x 2 в суму є не що інше, як зворотна дія до приведення вислови до спільного знаменника.
Алгоритм підбору чисельника в подібних прикладах краще виконувати на чернетці. При деяких навичках буде виходити і подумки.
Крім алгоритму підбору можна використовувати ділення стовпчиком багаточлена на багаточлен, але, боюся, пояснення займуть ще більше місця, тому - як-небудь іншим разом.
Знайти невизначений інтеграл
Це приклад для самостійного рішення.