Ії розподілу хі-квадрат і Стьюдента, і графічний вигляд

23. Поняття розподілу хі-квадрат і Стьюдента, і графічний вигляд

1) Розподіл (хі-квадрат) з n ступенями свободи - це розподіл суми квадратів n незалежних стандартних нормальних випадкових величин.

Розподіл (хі - квадрат) - розподіл випадкової величини (причому математичне сподівання кожної з них дорівнює 0, а середньоквадратичне відхилення-1)

де випадкові величини незалежні і мають один і той же розподіл. При цьому число доданків, тобто, називається "числом ступенів свободи" розподілу хі-квадрат. Число хі-квадрат опредляет одні параметром-числом ступенів свободи. Зі збільшенням числа ступенів свободи розподіл повільно наближається до нормального.

Тоді сума їх квадратів

є випадковою величиною, розподіленою по так званому закону «хі-квадрат» з k = n ступенями свободи; якщо ж складові пов'язані будь-яким співвідношенням (наприклад,), то число ступенів свободи k = n - 1.

Щільність цього розподілу

Тут - гамма-функція; зокрема, Г (п + 1) = п.

Отже, розподіл «хі-квадрат» визначається одним параметром - числом ступенів свободи k.

Зауваження 1. Зі збільшенням числа ступенів свободи розподіл «хі-квадрат» поступово наближається до нормального.

Зауваження 2. За допомогою розподілу «хі-квадрат» визначаються багато інших розподілу, що зустрічаються на практиці, наприклад, розподіл випадкової величини - довжини випадкового вектора (Х1, Х2, ..., хп), координати якого незалежні і розподілені за нормальним законом.

Вперше χ2-розподіл було розглянуто Р.Хельмертом (1876) і К.Пирсона (1900).

2) Розподіл Стьюдента

Розглянемо дві незалежні випадкові величини: Z, що має нормальний розподіл і нормовану (тобто М (Z) = 0, σ (Z) = 1), і V, розподілену за законом «хі-квадрат» з k ступенями свободи. тоді величина

має розподіл, зване t - розподілом або розподілом Стьюдента з k ступенями свободи. При цьому k називається "числом ступенів свободи" розподілу Стьюдента.

Із зростанням числа ступенів свободи розподіл Стьюдента швидко наближається до нормального.

Цей розподіл було введено в 1908 р англійським статистиком В. Госсетом, який працював на фабриці, яка випускає пиво. Ймовірносно-статистичні методи використовувалися для прийняття економічних і технічних рішень на цій фабриці, тому її керівництво забороняло В. Госсет публікувати наукові статті під своїм ім'ям. Таким способом охоронялася комерційна таємниця, "ноу-хау" у вигляді ймовірносно-статистичних методів, розроблених В. Госсетом. Однак він мав можливість публікуватися під псевдонімом "Стьюдент". Історія Госсета - Стьюдента показує, що ще сто років тому менеджерам Великобританії була очевидна велика економічна ефективність ймовірносно-статистичних методів прийняття рішень.