Гурський і

За спеціальною домовленістю з редколегією та редакцією журналу «Квант».

Рівномірний прямолінійний рух

Рівномірним прямолінійним рухом називається рух, при якому матеріальна точка за будь-які рівні проміжки часу здійснює однакові переміщення. Рівняння такого руху в векторній формі записується так:

де - переміщення, - швидкість руху, t - час.

Рух матеріальної точки завжди розглядається щодо будь-якого тіла, яке в даному завданні приймається за нерухоме та називається тілом відліку. З ним пов'язується система координат; разом з тілом відліку вони утворюють систему відліку. Для прямолінійного руху досить вибрати одну вісь координат, наприклад ОХ. Тоді положення точки буде визначатися його координатою х. Рівняння рівномірного руху в скалярною формі буде виглядати так:

де x0 - координата точки в момент часу t = 0.

Правильний вибір системи відліку часто істотно полегшує вирішення завдання. Розглянемо кілька конкретних завдань.

Завдання 1. Пасажир, що сидить біля вікна поїзда, що йде зі швидкістю υ1 = 72 км / год, бачить зустрічний поїзд, що йде зі швидкістю υ2 = 31,4 км / год, протягом 10 секунд. Визначити довжину зустрічного поїзда.

За тіло відліку приймемо пасажира, а вісь координат спрямуємо у напрямку швидкості зустрічного поїзда. Величини швидкостей υ1 і υ2 задані щодо деякої нерухомої системи відліку, наприклад землі. Стосовно ж до пасажира, який рухається зі швидкістю υ1. зустрічний поїзд має так звану відносну швидкість υ2отн. яка дорівнює

або в скалярною формі

Тоді шукана довжина зустрічного поїзда l дорівнює

Задача2. Рибак пливе на човні вгору по річці; проїжджаючи під мостом, він впустив у воду солом'яного бриля. Через півгодини він це виявив і, повернувши назад, наздогнав капелюх в 5 км нижче моста. Яка швидкість течії річки, якщо рибалка, рухаючись вгору і вниз по річці, гріб однаково?

Зв'яжемо систему відліку з водою в річці, тобто з капелюхом. Рибак віддаляється від капелюхи і наближається до неї з однією і тією ж швидкістю, отже, він наздожене її через півгодини після того, як виявив втрату, або через годину після падіння капелюхи в воду. За цей час капелюх щодо землі пропливла 5 км. Значить, швидкість течії річки дорівнює 5 км / год.

Равнопеременное прямолінійний рух

Якщо швидкість матеріальної точки не постійна, але в будь-які рівні проміжки часу вона змінюється на одну і ту ж величину, то в цьому випадку говорять про равнопеременное русі. Рух називають рівноприскореному, якщо швидкість збільшується, і равнозамедленно, якщо швидкість зменшується.

Для вирішення завдань на цю тему досить знати рівняння для швидкості і переміщення. У скалярною формі вони записуються так:

Тут υ0 - початкова швидкість точки, х0 - початкова координата, а - прискорення, υ і х - відповідно швидкість і координата точки в момент часу t. Величини υ0. a. υ і х будемо вважати позитивними, коли їх напрям збігається з позитивним напрямком обраної осі координат ОХ. негативними - в іншому випадку.

Починати рішення задачі корисно з короткої записи її умови, за можливості повністю переводячи завдання на мову умовних позначень. При цьому треба стежити за тим, щоб одиниці виміру всіх величин були дані в одній і тій же системі одиниць. Всі розрахунки краще проводити в загальному вигляді, тобто в буквених позначеннях, а чисельні значення підставляти в остаточний результат.

Вирішимо наступні завдання.

Завдання 3. Два велосипедиста їдуть назустріч один одному: один з них, маючи швидкість 5,4 км / год, спускається з гори з прискоренням 0,2 м / с 2; інший, маючи швидкість 18 км / ч, піднімається в гору з прискоренням - 20 см / с 2. Через скільки часу вони зустрінуться?

Нехай початок координат збігається з початковим положенням першого велосипедиста, а позитивний напрямок осі координат - з напрямком його початковій швидкості. Тоді короткий запис умови задачі буде виглядати так:

υ01 = 5,4 км / ч = 1,5 м / с

υ02 = -18 км / ч = -5 м / с

Запишемо рівняння руху для кожного велосипедиста:

причому а1 = а2 за умовою. У момент зустрічі

Вирішуючи спільно рівняння (1) - (3), отримаємо

На цьому можна було б закінчити рішення, але в даному випадку слід переконатися в тому, що отримана відповідь має фізичний сенс. Для цього знайдемо швидкість другого велосипедиста через 30 секунд після початку руху:

= -5 м / с + 0,2 м / с 2 • 30 з = 1 м / с.

Виявляється, що другий велосипедист до цього часу буде скочуватися з гори, а не підніматися в гору. Очевидно, що дана задача складена некоректно.

Завдання 4. Аеростат піднімається з землі вертикально вгору з прискоренням 2,45 м / с 2. Через 8 секунд від початку руху з його гондоли випадає предмет. Через скільки часу і з якою швидкістю цей предмет впаде на землю? Опором повітря знехтувати.

Так як спочатку предмет рухається разом з аеростатом, то через t1 = 8 з він підніметься на деяку висоту h1 і матиме швидкість υ1 причому

Подальший рух предмета можна описати по-різному.

Часто завдання такого типу вирішуються в два етапи. Спочатку розглядається уповільнене рух предмета вгору до найбільшої висоти, потім - вільне падіння на землю. Завдання, однак, вирішується простіше, якщо вважати, що предмет одночасно бере участь у двох незалежних один від одного рухах: він рівномірно зі швидкістю υ1 піднімається вгору і вільно падає. Зв'яжемо систему відліку з землею, а вісь координат спрямуємо вгору. Тоді рівняння руху предмета з висоти h1 до землі запишеться так:

(T2 - час руху предмета). Підставляючи в це рівняння вирази для h1 і υ1. отримаємо

Завдання 5. Тіло кинуто вертикально вгору з деякою початковою швидкістю. Коли воно досягло найвищої точки підйому на висоті Н = 100 м від землі, з того ж початкового пункту і з тієї ж початковою швидкістю кинуто друге тіло. На якій висоті вони зустрінуться? Які вони матимуть швидкості в момент зустрічі? З якою початковою швидкістю були кинуті тіла? Опором повітря знехтувати.

Розглянемо спочатку деякі особливості руху тіла, кинутого вертикально вгору. Це складний рух є сумою двох простих - рівномірного руху і вільного падіння. Причому кожен рух відбувається незалежно від іншого і від того, піднімається або опускається тіло. Тому можна сказати, що час проходження тілом одного і того ж ділянки шляху вгору і вниз один і той же і що швидкості тіла на деякій висоті при русі вгору або вниз однакові за величиною.

Покажемо, наприклад, що час підйому тіла до максимальної висоти одно часу падіння до початкового положення та що кінцева швидкість за величиною дорівнює початковій швидкості. Нехай початкова швидкість тіла дорівнює υ0. Запишемо рівняння для швидкості і координати (початок координат зв'яжемо з точкою кидання і вісь координат спрямуємо вгору):

У точці максимального підйому υ = 0, тому

Тепер тіло починає вільно падати. Позначимо час падіння t '. а кінцеву швидкість υ 'і запишемо рівняння для вільного падіння

Тепер повернемося до нашої конкретної задачі. Відповідно до сказаного вище, час підйому другого тіла до висоти h (рис. 1), що дорівнює часу падіння першого тіла з висоти H -h. становить половину часу вільного падіння першого тіла з висоти Н до землі, тобто

Швидкості тіл у момент зустрічі однакові за величиною і рівні

На закінчення розглянемо задачу на побудову графіків.

Завдання 6. Дан графік залежності швидкості руху тіла від часу (рис. 2, а). Побудувати графіки прискорення, переміщення і шляхи.

Перш за все, подивимося, як рухається тіло в різні моменти часу. З графіка швидкості видно, що на першому етапі (від 0 до t1) тіло рухається рівноприскореному; на другому (від t1 до t2) - равнозамедленно; на третьому (від t2 до t3) - равноускоренно, але в зворотному напрямку; на четвертому (від t3 до t4) - равнозамедленно; на п'ятому (від t4 до t5) - равноускоренно в первісному напрямку і т. д. Графіки залежності прискорення, переміщення і шляхи від часу показані на малюнках 2, б, в і г відповідно.

1. По двох паралельних шляхах в одному напрямку йдуть два поїзди: пасажирський - довжиною 200 м із швидкістю 72 км / год і товарний - довжиною 400 м із швидкістю 45 км / ч. Скільки часу пасажирський поїзд буде обганяти товарний?

2. Який Замикає колони військ, що розтягнулася на 2,5 км і йде зі швидкістю 5 км / год, послав мотоцикліста з повідомленням командиру, що знаходиться на чолі колони. Командир брав повідомлення і писав відповідь, стоячи на узбіччі дороги, в. Протягом трьох хвилин. Визначити середню швидкість мотоцикліста, якщо він повернувся до замикаючому через 9 хв 27 с.

3. Два велосипедиста їдуть назустріч один одному: один з них, маючи швидкість 7,2 км / год, спускається з гори з прискоренням 0,30 м / с 2; інший, маючи швидкість 36 км / ч, піднімається з прискоренням -0,20 м / с 2. Яке була відстань між велосипедистами в початковий момент, якщо вони зустрілися через 0,5 хвилини? При якій найбільшій довжині гори завдання має рішення?

4. З деякою висоти падає тіло. Через 2 з з тієї ж висоти падає друге тіло. Через скільки секунд після початку падіння першого тіла подвоїться відстань, що розділяє тіла до початку падіння другого тіла? Опором повітря знехтувати.

5. Вертоліт піднімається вгору зі швидкістю 10 м / с. На висоті 100 м з нього викидається вгору предмет зі швидкістю 2 м / с щодо вертольота. Знайти найбільшу висоту, якої досягне предмет, а також через скільки часу і з якою швидкістю предмет впаде на землю.

6. Тіло кидають вгору зі швидкістю 20 м / с. Яка висота точки, яку тіло проходить двічі з проміжком 3 с? Опором повітря знехтувати.

7. Дан графік залежності прискорення від часу (рис. 3). Побудувати графік залежності величини переміщення від швидкості.