Графічне рішення рівнянь

Формули рішення квадратних рівнянь в Європі були вперше викладені в «Книзі абака», написаної в 1202 році італійським математиком Леонардо Фібоначчі. Його книга сприяла поширенню алгебраїчних знань не тільки в Італії, але і Німеччини, Франції та інших країнах Європи.

Але загальне правило рішення квадратних рівнянь, при всіляких комбінаціях коефіцієнтів b і c було сформульовано в Європі лише в 1544 році М. Штіфель.

У 1591 році Франсуа Вієт ввів формули для вирішення квадратних рівнянь.

У стародавньому Вавилоні могли вирішити деякі види квадратних рівнянь.

Діофант Олександрійський і Евклід. Аль-Хорезмі і Омар Хайям вирішували рівняння геометричними і графічними способами.

У 7 класі ми вивчали функції у = С, у = kx, у = kx + m, у = x 2, у = -x 2, в 8 класі - у = √x, у = | x |, у = ax2 + bx + c, у = k / x. У підручнику алгебри 9 класу я побачила ще не відомі мені функції: у = x 3. у = x 4, у = x 2 n. у = x- 2 n. у = 3 √x, (x-a) 2 + (у -b) 2 = r 2 і інші. Існують правила побудови графіків даних функцій. Мені стало цікаво, чи є ще функції, що підкоряються цим правилам.

Моя робота полягає в дослідженні графіків функцій та графічному рішенні рівнянь.

1. Які бувають функції

Графік функції - це множина всіх точок координатної площини, абсциси яких дорівнюють значенням аргументів, а ординати - відповідним значенням функції.

Лінійна функція задається рівнянням у = kx + b. гдеk і b - деякі числа. Графіком цієї функції є пряма.

Функція зворотної пропорційності у = k / x. де k¹ 0. Графік цієї функції називається гіперболою.

Функція (x-a) 2 + (у -b) 2 = r2. де а. b і r - деякі числа. Графіком цієї функції є коло радіуса r з центром в т. А (а. B).

Квадратична функція y = ax2 + bx + c де а, b, с - деякі числа і а ¹ 0. Графіком цієї функції є парабола.

Рівняння у 2 (a-x) = x2 (a + x). Графіком цього рівняння буде крива, звана строфоїди.

Рівняння (x2 + y2) 2 = a (x2-y2). Графік цього рівняння називається лемніската.

Рівняння. Графік цього рівняння називається астроїда.

Крива (x 2 y 2 - 2 a x) 2 = 4 a 2 (x 2 + y 2). Ця крива називається кардіоїд.

2. Поняття рівняння, його графічного рішення

Рівняння - вираз, що містить змінну.

Вирішити рівняння - це значить знайти всі його корені, або довести, що їх немає.

Корінь рівняння - це число, при підстановці якого в рівняння виходить правильне числове рівність.

Рішення рівнянь графічним способом дозволяє знайти точне або наближене значення коренів, дозволяє знайти кількість коренів рівняння.

При побудові графіків і вирішенні рівнянь використовуються властивості функції, тому метод частіше називають функціонально-графічним.

Для вирішення рівняння «ділимо» на дві частини, вводимо дві функції, будуємо їх графіки, знаходимо координати точок перетину графіків. Абсциси цих точок і є корені рівняння.

3. Алгоритм побудови графіка функції

Знаючи графік функції у = f (x). можна побудувати графіки функцій у = f (x + m), у = f (x) + l і у = f (x + m) + l. Всі ці графіки виходять з графіка функції у = f (x) за допомогою перетворення паралельного переносу: на # 9474; m # 9474; одиниць масштабу вправо або вліво вздовж осі x і на # 9474; l # 9474; одиниць масштабу вгору або вниз вздовж осі y.

4. Графічне рішення квадратного рівняння

На прикладі квадратичної функції ми розглянемо графічне рішення квадратного рівняння. Графіком квадратичної функції є парабола.

Що знали про параболі стародавні греки?

Сучасна математична символіка виникла в 16 столітті.

У давньогрецьких ж математиків ні координатного методу, ні поняття функції не було. Проте, властивості параболи були вивчені ними детально. Винахідливість античних математиків просто вражає уяву, - адже вони могли використовувати тільки креслення і словесні описи залежностей.

Найбільш повно досліджував параболу, гіперболу і еліпс Аполон Пергський. жив в 3 столітті до н.е. Він же дав цим кривим назви і вказав, яким умовам задовольняють точки, що лежать на тій чи іншій кривій (адже формул-то не було!).

Існує алгоритм побудови параболи:

• Знаходимо вісь симетрії параболи (пряма х = х0);

• Складаємо таблицю значень для побудови контрольних точок;

• Будуємо отримані точки і побудуємо точки їм симетричні щодо осі симетрії.

1. За алгоритмом побудуємо параболу y = x2- 2x- 3. Абсциси точок перетину з віссю x і є коріння квадратного рівняння x2- 2x- 3 = 0.

Існує п'ять способів графічного рішення цього рівняння.

2. Розіб'ємо рівняння на дві функції: y = x2 і y = 2x + 3. Коріння рівняння - абсциси точок перетину параболи з прямою.

3. Розіб'ємо рівняння на дві функції: y = x2-3 і y = 2x. Коріння рівняння - абсциси точок перетину параболи з прямою.

4. Перетворимо уравненіеx2- 2x- 3 = 0 за допомогою виділення повного квадрата на функції: y = (x-1) 2 іy = 4. Коріння рівняння - абсциси точок перетину параболи з прямою.

5. Розділимо почленно обидві частини уравненіяx2- 2x- 3 = 0 на x. отримаємо x- 2 - 3 / x = 0. розіб'ємо дане рівняння на дві функції: y = x- 2, y = 3 / x. Коріння рівняння - абсциси точок перетину прямої і гіперболи.

5. Графічне рішення рівнянь степеніn

Корінням цього рівняння є абсциса точки перетину графіків двох функцій: y = x5, y = 3 - 2x.

Корінням цього рівняння є абсциса точки перетину графіків двох функцій: y = 3√x, y = 10 -x.

На прикладі рішення квадратного рівняння можна зробити висновки, що графічний спосіб застосуємо і для рівнянь ступеня n.

Графічні способи вирішення рівнянь красиві і зрозумілі, але не дають стовідсоткової гарантії вирішення будь-якого рівняння. Абсциси точок перетину графіків можуть бути наближеними.

У 9 класі і в старших класах я буду ще знайомитися з іншими функціями. Мені цікаво знати: чи підкоряються ті функції правилам паралельного перенесення при побудові їх графіків.

На наступний рік мені хочеться також розглянути питання графічного рішення систем рівнянь і нерівностей.

4. Глейзер Г.І. Історія математики в школі. VII-VIII класи. - М. Просвітництво, 1982.

6. Графічне рішення рівнянь сайти в Інтернеті: Тол ВИКИ; stimul.biz/ru; wiki.iot.ru/images; berdsk.edu; pege 3-6.htm.