гіпотеза Рімана

гіпотеза
Берча - Свіннертона-Дайера

У той час як, не знайдено будь-якої закономірності, яка описує розподіл простих чисел серед натуральних, Ріман виявив, що кількість простих чисел. що не перевищують x, - функція розподілу простих чисел. позначається # X03C0; (X) - виражається через розподіл так званих «нетривіальних нулів» дзета-функції.

Багато твердження про розподіл простих чисел, в тому числі про обчислювальної складності деяких цілочисельних алгоритмів. доведені в припущенні вірності гіпотези Рімана.

формулювання

Дійсна (червона) і уявна (синя) компоненти дзета-функції

З функціонального рівняння # X03B6; (S) = 2 s # X03C0; s sin # X2061; # X03C0; s 2 1 sin # X2061; # X03C0; s # X0393; (S) # X03B6; (1 # X2212; s) \ pi ^ \ sin> \ zeta (1-s)> і явного вираження 1 # X03B6; (S) = # X2211; n = 1 # X221E; # X03BC; (N) n s> = \ sum _ ^ >>> при Re s> 1 \, s> 1>. де # X03BC; (N) - функція Мебіуса. випливає, що всі інші нулі, звані «нетривіальними», розташовані в смузі 0 # X2A7D; Re s # X2A7D; 1 \, s \ leqslant 1> симетрично щодо так званої «критичної лінії» 1 2 + i t. t # X2208; R + it, \; t \ in \ mathbb>.

гіпотеза Рімана

Гіпотеза Рімана стверджує, що:

«Все нетривіальні нулі дзета-функції мають дійсну частину, рівну 1 2 >>»,

тобто є комплексними числами, розташованими на прямій Re s = 1 2 >>.

Узагальнена гіпотеза Рімана

Узагальнена гіпотеза Рімана (англ. Generalized Riemann hypothesis) складається з того ж самого твердження для узагальнень дзета-функцій, які називаються L-функціями Діріхле.