Геометричні застосування певних інтегралів
4.2. ГЕОМЕТРИЧНІ ДОДАТКИ
Визначені інтеграли.
Результат навчання дорівнює добутку здатності на старанність. Якщо старанність дорівнює нулю, то і все добуток дорівнює нулю, а здібності є у кожного.
Поняття визначеного інтеграла знаходить широке застосування на практиці. Зокрема, за допомогою певних інтегралів можна обчислювати площі фігур, довжини кривих, обсяги тіл і т.д. У зв'язку з цим виникає питання: в яких випадках можна використовувати поняття певного інтеграла? Виявляється, що визначений інтеграл можна використовувати тільки в тих випадках, якщо обчислюється величина має властивість адитивності. Це означає, що досліджувану величину можна представити у вигляді суми її частин. Так площа фігури дорівнює сумі площ її частин, довжина кривої дорівнює сумі її частин і т.п. Отже, для таких величин можна скласти інтегральні суми і за допомогою граничного переходу переходити до певних интегралам.
4.2.1. Обчислення площ плоских фігур
Нехай функція неотрицательна і неперервна на відрізку. Тоді по геометричному змістом певного інтеграла площа під кривою на число дорівнює певному інтегралу
Приклад 4.2.1. Обчислити площу фігури, обмеженою параболою, прямими, і віссю абсцис.
Рішення . Зробимо креслення. Потрібно знайти площу криволінійної трапеції (рис. 4.2.1). Відповідно до геометричним змістом інтеграла:
Нехай функція непозитивним і неперервна на відрізку (рис. 4.2.2). Тоді площа над кривою на число дорівнює певному інтегралу взятому зі знаком «мінус»:
Нехай на відрізку задана неперервна функція загального вигляду. Припустимо також, що вихідний відрізок можна розбити точками на кінцеве число інтервалів так, що на кожному з них функція буде знакопостоянна. З'ясуємо, який існує зв'язок між певним інтегралом і площами виникають криволінійних трапецій.
Розглянемо, наприклад, випадок функції, зображеної на рис. 4.2.3. Площа заштрихованої фігури, тобто дорівнює сумі алгебри відповідних певних інтегралів:
Приклад 4.2.2. Обчислити площу фігур, обмежених лініями: а),,; б),,.
Рішення . а) Зробимо креслення (рис. 4.2.4). Так як при і при, то
Відзначимо, що якщо б ми не враховували знаки підінтегральної функції, то отримали б
б) Зробимо креслення (рис. 4.2.5). Знайдемо точки перетину параболи з віссю Ox:
З малюнка видно, що
Приклад 4.2.3. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями:,,,.
Рішення. З креслення (див. Рис. 4.2.6) видно, що шукану площу S криволінійної трапеції OABC можна розглядати як площа над кривою OAB на відрізку [0; 2]. Однак зазначена крива не ставить одним рівнянням. Тому для знаходження шуканої площі розіб'ємо фігуру OABC на дві частини: OAD і DABC. площа кожної з яких обчислимо, спираючись на геометричний сенс певного інтеграла. Знайдемо абсциссу точки A:
Таким чином, точка A має координати (1; 1). Після цього знаходимо площа заданої фігури:
Нехай плоска фігура на відрізку [a, b] обмежена графіками двох функцій і, причому (див. Рис. 4.2.7). Тоді шукана площа обчислюється за формулою:
Ця формула випливає з того, що площа такої фігури дорівнює різниці або сумі площ відповідних криволінійних трапецій. При цьому не має значення, перебувають графіки подинтегральних функцій вище або нижче осі Ox. Важливо, щоб на всьому відрізку інтегрування виконувалася умова.
Приклад 4.2.3. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями: y = x-x 2. y = -x.
Рішення. Зробимо креслення (див. Рис. 4.2.8). Знайдемо точки перетину параболи і прямої:
Оскільки на відрізку [0; 2] x -x 2 ³-x. то площа заданої фігури дорівнюватиме
Зауважимо, що криволінійна трапеція може утворюватися графіком функції також і з віссю Oy (див. Рис. 4.2.9). Тоді площа такої криволінійної трапеції можна записати у вигляді
Такий випадок слід мати на увазі, оскільки це може сильно скоротити обчислення.
Приклад 4.2.4. Обчислити площу фігури, обмеженою параболами: y 2 = 2x і y 2 = 6-x (рис. 4.2.10).
Рішення. Будемо шукати площа даної фігури відносно осі Oy. Ординати точок перетину ліній рівні y1 = -2 і y2 = 2. отже,
Спробуйте обчислити площу даної фігури щодо осіOx.