Геометричні властивості ліній другого порядку
Точка С (3; -1) є центром кола, відтинає на прямий 2x-5y + 18 = 0 хорду, довжина якої дорівнює 6. Скласти рівняння цієї окружності. Дивитися рішення.
Еліпсом називається геометричне місце точок, для яких сума відстаней до двох фіксованих точок площини, які називаються фокусами, є постійна величина, більша, ніж відстань між фокусами. Постійну суму відстаней довільної точки еліпса до фокусів прийнято позначати через 2а. Фокуси еліпса позначають буквами F1 і F2. відстань між ними - через 2с. За визначенням еліпса 2a> 2c або a> c.
Нехай дано еліпс. Якщо осі декартової прямокутної системи координат вибрані так, що фокуси даного еліпса розташовуються на осі абсцис симетрично відносно початку координат, то в цій системі координат рівняння даного еліпса має вигляд
x ^ 2 / a ^ 2 + y ^ 2 / b ^ 2 = 1 (1)
де b = sqrt (a ^ 2-c ^ 2); очевидно, a> b. Рівняння виду (1) називається канонічним рівнянням еліпса.
При зазначеному виборі системи координат осі координат є осями симетрії еліпса, а початок координат - його центром симетрії (рис.). Осі симетрії еліпса називаються просто його осями, центр симетрії - просто центром. Точки, в яких еліпс перетинає свої осі, називаються його вершинами. На рис. Вершини еліпса ABCD точки A ', A, B', B. Часто осями еліпса називаються також відрізки A'A = 2a і B'B = 2b; разом з тим відрізок ОА = а називають велика піввісь еліпса, відрізок OB = b - малої полуосью.
Якщо фокуси еліпса розташовані на осі Оу (симетрично відносно початку координат), то рівняння еліпса має той же вигляд (1), але в цьому випадку b> a; отже, якщо ми бажаємо буквою а позначати велику піввісь, то в рівнянні (1) потрібно літери а і b поміняти місцями. Однак для зручності формулювань завдань ми домовимося буквою а завжди позначати піввісь, розташовану на осі Ох, буквою b - піввісь, розташовану на осі Оу, незалежно від того, що більше, a або b. Якщо a = b, то рівняння (1) визначає коло, розглянуту як окремий випадок еліпса.
де а - велика піввісь, називається ексцентриситетом еліпса. Очевидно, ε F1M = r1 і F2M = r2 (рис.) Називаються фокальними радіусами точки М. Фокальні радіуси можуть бути обчислені за формулами
r1 = a + εx, r2 = a - εx
Якщо еліпс визначено рівнянням (1) і a> b, то прямі
називаються директрисами еліпса (якщо b> a, то директриси визначаються рівняннями y = -b / ε, y = b / ε)
Кожна директриса має наступну властивість: якщо r - відстань від довільної точки еліпса до деякого фокуса, d - відстань від тієї ж точки до односторонньої з цим фокусом директриси, то ставлення r / d є постійна величина, рівна ексцентриситету еліпса:
Ексцентриситет еліпса e = 2/3, фокальний радіус точки М еліпса дорівнює 10. Обчислити відстань від точки М до односторонньої з цим фокусом директриси. Дивитися рішення.
Ексцентриситет еліпса e = 2/5, відстань від точки еліпса до директриси дорівнює 20. Обчислити відстань від точки М до фокуса, односторонньої з цієї директоркою. Дивитися рішення.
Гіперболою називається геометричне місце точок, для яких різниця відстаней до двох фіксованих точок площини, які називаються фокусами, є постійна величина; зазначена різниця береться за абсолютним значенням і позначається через 2а. Фокуси гіперболи позначають буквами F1 і F2. відстань між ними - через 2с. За визначенням гіперболи 2a x ^ 2 / a ^ 2 - y ^ 2 / b ^ 2 = 1
де b = sqrt (c ^ 2 - a ^ 2). Рівняння виду (1) називається канонічним рівнянням гіперболи. При зазначеному виборі системи координат осі координат є осями симетрії гіперболи, а початок координат - її центром симетрії (рис.). Осі симетрії гіперболи називаються просто її осями, центр симетрії - центром гіперболи. Гіпербола перетинає одну зі своїх осей; точки перетину називаються вершинами гіперболи. На рис. Вершини гіперболи ABCD точки А 'і А.
Прямокутник зі сторонами 2а і 2b, розташований симетрично щодо осей гіперболи і що стосується її в вершинах, називається основним прямокутником гіперболи.
Відрізки довжиною 2a і 2b, що з'єднують середини сторін основного прямокутника гіперболи, також називають її осями. Діагоналі основного прямокутника (необмежено продовженого) є асимптотами гіперболи. їх рівняння суть
-x ^ 2 / a ^ 2 + y ^ 2 / b ^ 2 = 1 (2)
визначає гіперболу, симетричну щодо координатних осей, з фокусами на осі ординат; рівняння (2), як і рівняння (1), називається канонічним рівнянням гіперболи; в цьому випадку постійна різниця відстаней від довільної точки гіперболи до фокусів дорівнює 2b.
Дві гіперболи, які визначаються рівняннями
x ^ 2 / a ^ 2 - y ^ 2 / b ^ 2 = 1, -x ^ 2 / a ^ 2 + y ^ 2 / b ^ 2 = 1
в одній і тій же системі координат, називаються сполученими.
Гіпербола з рівними півосями (a = b) називається равносторонней; її канонічне рівняння має вигляд
де а - відстань від центру гіперболи до її вершини, називається ексцентриситетом гіперболи. Очевидно, для будь-якої гіперболи ε> 1. Якщо М (x; y) - довільна точка гіперболи, то відрізки F1M і F2M (див. Рис.) Називаються фокальними радіусами точки М. Фокальні радіуси точок правої галузі гіперболи обчислюються за формулами
r1 = εx + a, r2 = εx - a
фокальні радіуси точок лівої галузі - за формулами
r1 = -εx - a, r2 = -εx - a
Якщо гіпербола задана рівнянням (1), то прямі, що визначаються рівняннями
називаються її директрисами (див. рис.). Якщо гіпербола задана рівнянням (2), то директриси визначаються рівняннями
Кожна директриса має наступну властивість: якщо r - відстань від довільної точки гіперболи до деякого фокуса, d - відстань від тієї ж точки до односторонньої з цим фокусом директриси, то ставлення r / d є постійна величина, рівна ексцентрісістету гіперболи:
Ексцентриситет гіперболи e = 2, фокальний радіус її точки М, проведений з деякого фокуса, дорівнює 16. Обчислити відстань від точки М до односторонньої з цим фокусом директриси. Дивитися рішення.
Ексцентриситет гіперболи e = 3/2, центр її лежить на початку координат, одна з директрис дана рівнянням x = -8. Обчислити відстань від точки М1 гіперболи з абсцисою, що дорівнює 10, до фокусу, відповідного заданої директрисі. Дивитися рішення.
Параболою називається геометричне місце точок, для кожної з яких відстань до деякої фіксованої точки площини, яку називають фокусом, дорівнює відстані до деякої фіксованої прямої, званої директоркою. Фокус параболи позначається буквою F, відстань від фокуса до директриси - буквою р. Число р називається параметром параболи.
Нехай дана деяка парабола. Введемо декартову прямокутну систему координат так, щоб вісь абсцис проходила через фокус даної параболи перпендикулярно до директрисі і була спрямована від директриси до фокусу; початок координат розташуємо посередині між фокусом і директоркою (рис.). У цій системі координат дана парабола буде визначатися рівнянням
Рівняння (1) називається канонічним рівнянням параболи. У цій же системі координат директриса даної параболи має рівняння
Фокальний радіус довільної точки М (x; y) параболи (тобто довжина відрізка F (M) може бути обчислений за формулою
Парабола має одну вісь симетрії, яка називається віссю параболи, з якої вона перетинається в єдиній точці. Точка перетину параболи з віссю називається її вершиною. При зазначеному вище виборі координатної системи вісь параболи поєднана з віссю абсцис, вершина знаходиться на початку координат, вся парабола лежить в правій півплощині.
Якщо координатна система обрана так, що вісь абсцис поєднана з віссю параболи, початок координат - з вершиною, але парабола лежить в лівій півплощині (рис.), То її рівняння буде мати вигляд
У разі, коли початок координат знаходиться в вершині, а з віссю поєднана вісь ординат, парабола буде мати рівняння
якщо вона лежить у верхній півплощині (рис.), і
якщо в нижній півплощині (рис.)
Кожне з рівнянь параболи (2), (3), (4), як і рівняння (1), називається канонічним.
Обчислити фокальний радіус точки М параболи y ^ 2 = 20x, якщо абсциса точки М дорівнює 7. Дивитися рішення.
Скласти рівняння параболи, якщо дані її фокус F (4; 3) і директриса x-5 = 0 Дивитися рішення.
Полярне рівняння еліпса, гіперболи, параболи
Полярне рівняння. загальне по формі для еліпса, однієї гілки гіперболи і параболи, має вигляд
де p, θ - полярні координати довільної точки лінії, р - фокальний параметр (половина фокальній хорди лінії, перпендикулярної до її осі), ε - ексцентриситет (в разі параболи ε = 1). Полярна система координат при цьому обрана так, що полюс знаходиться у фокусі, а полярна вісь спрямована по осі лінії в сторону, протилежну найближчій до цього фокусу директриси.
Дано рівняння еліпса x ^ 2 / a ^ 2 + y ^ 2 / b ^ 2 = 1. Скласти його полярне рівняння за умови, що напрям полярної осі збігається з позитивним напрямком осі абсцис, а полюс знаходиться в центрі еліпса. Дивитися рішення.
Дано рівняння гіперболи x ^ 2 / a ^ 2 - y ^ 2 / b ^ 2 = 1. Скласти її полярне рівняння за умови, що напрям полярної осі збігається з позитивним напрямком осі абсцис, а полюс знаходиться в центрі гіперболи. Дивитися рішення.
Дано рівняння параболи y ^ 2 = 2px. Скласти її полярне рівняння за умови, що напрям полярної осі збігається з позитивним напрямком осі абсцис, а полюс знаходиться в вершині параболи. Дивитися рішення.
