Геометричні характеристики плоских перерізів

Приклад рішення задачі по темі "геометричні характеристики плоских перерізів"

Умова в прикладі рішення задачі "геометричні характеристики плоских перетину"

Для складеного поперечного перерізу стрижня, що складається з равнобокой куточка № 7 з товщиною стінки 8 мм, швелера № 22 і смуги 180'20 мм (рис. 3.10), потрібно визначити місце розташування центру ваги перерізу, напрямок головних центральних осей інерції u і v, а також обчислити головні центральні моменти інерції і.

Розрахункова схема наприклад рішення завдання "геометричні характеристики плоских перерізів"

Рішення прикладу завдання "геометричні характеристики плоских перерізів"

Визначаємо координати центра ваги поперечного перерізу

Розміри і геометричні характеристики куточка і швелера встановлюємо по сортаменту (дод. 1, табл. П1.1, П1.4). Викреслює перетин в масштабі (див. Рис. 3.10). Вибираємо осі порівняння і, розташовуючи їх по контуру швелера. Саме в цих осях ми і будемо визначати положення центра тяжіння всього перерізу. Для кожного елемента перетину (куточка, швелера і смуги) проводимо власні центральні осі (), паралельні обраним осях порівняння і.

Координати центра ваги всього поперечного перерізу (точка С), що складається з трьох елементів (куточка - 1, швелера - 2 і смуги - 3), обчислюються за формулами:

де і - статичні моменти відповідного елемента щодо осей порівняння; - площа елемента; і - координати центру ваги елемента в осях порівняння. Обчислення проводимо в табличній формі (табл. 3.6).

Визначення координат центру ваги поперечного перерізу

Координати центра ваги поперечного перерізу (точка С) в осях порівняння,:

За знайденим значенням і відзначаємо на кресленні центр тяжіння всього перерізу точку С (див. Рис. 3.10) і проводимо центральні осі і.

Зауважимо, що центр ваги всієї фігури повинен розташовуватися всередині трикутника, вершинами якого є центри тяжкості елементів поперечного перерізу.

Обчислюємо моменти інерції всього поперечного сеченіяотносітельно центральних осей і

Осьові і відцентрові моменти інерції перетину щодо центральних осей визначаються за такими формулами:

Значення осьових моментів інерції куточка і швелера щодо власних центральних осей і визначаємо по сортаменту (див. Дод. 1). Для смуги осьові моменти інерції відповідно рівні:

Відцентрові моменти інерції швелера і смуги дорівнюють нулю, оскільки їх власні центральні осі є осями симетрії.

Відцентровий момент інерції куточка щодо власних центральних осей і обчислюється за формулою

де і - максимальний і мінімальний головні моменти інерції куточка відповідно. По сортаменту (див. Дод. 1) знаходимо, що см4, а см4.

Відцентровий момент інерції куточка не дорівнює нулю, оскільки осі і не є для нього головними центральними осями інерції (головні центральні осі для равнобокой куточка повернені щодо осей і на кут 450).

Знак відцентрового моменту інерції куточка (як, втім, і для будь-якої іншої фігури) залежить від напрямку координатних осей. Він легко визначається наступним чином. Згідно з визначенням, відцентровий момент інерції фігури дорівнює інтегралу, в якому елементарна площадка множиться на добуток відстаней від цієї площадки до координатних осей. Подумки розділимо куточок на три площі, розташовані, в нашому випадку, в першому, третьому і четвертому квадрантах. Ці площі, в свою чергу, розіб'ємо на елементарні площадки. Видно, що для елементарних майданчиків, розташованих в першому і третьому квадрантах, відстані від елементарних майданчиків до координатних осей мають однаковий знак. Тому при інтегруванні по площі, розташованої в цих квадрантах, ми отримаємо знак «плюс». У четвертому квадранті відстані від майданчиків до координатних осей мають різні знаки, що при інтегруванні дасть знак «мінус». Очевидно, що, підсумовуючи отримані результати, ми, в результаті, отримаємо позитивне значення відцентрового моменту інерції куточка. отже,

Тепер визначаємо координати центрів ваги окремих елементів в центральних осях і:

Після округлення обчислених значень моментів інерції до трьох значущих цифр, остаточно, отримаємо

Визначаємо положення головних центральних осей інерції u і v

Кут нахилу головних центральних осей u і v до центральних осях і відповідно визначаємо з наступної формули:

Звідси знаходимо, що і.

Відкладаємо позитивне значення кута від осі проти годинникової стрілки і проводимо головні центральні осі u і v (див. Рис. 3.10).

Вісь, щодо якої момент інерції максимальний, становить менший кут з тієї з центральних осей або, щодо якої осьової момент більше. Оскільки см4 більше, ніж см4, вісь u є віссю щодо якої момент інерції перетину максимальний, тобто вісь u - вісь max. Відповідно, вісь v є віссю min.

Обчислюємо значення головних центральних моментів інерції і для заданого поперечного перерізу

Значення головних центральних моментів інерції всієї фігури визначаються за формулою

Контролем правильності останніх обчислень може служити така умова:

Приклад завдання "геометричні характеристики плоских перерізів" для самостійного рішення

Умова завдання для самостійного рішення по темі "геометричні характеристики плоских перерізів"

Для заданого поперечного перерізу стрижня (рис. 3.9), що складається з двох прокатних профілів і смуги, потрібно визначити місце розташування центру ваги перерізу, напрямок головних центральних осей інерції u і v, а також обчислити головні центральні моменти інерції і. Дані взяти з табл. 3.5 і табл. і з сортаменту двотаврів, куточків і швелерів.