Фундаментальна послідовність, примат

визначення

Послідовність називають фундаментальною. якщо вона задовольняє умові Коші. для кожного існує таке натуральне число, що для будь-якого і будь-якого справедливо нерівність. Коротко цю умову можна записати так:.

Дамо еквівалентну визначення. Послідовність називають фундаментальною. якщо для кожного існує таке натуральне число, що для будь-якого і для будь-якого натурального справедливо нерівність. Коротко цю умову можна записати так:.

Доведемо, що фундаментальна послідовність є обмеженою. Нехай, тоді згідно з умовою Коші знайдеться номер такий, що для всіх і для всіх виконується нерівність, і, зокрема,. Так як для всіх, то при всіх справедливо нерівність, де. Це означає, що - обмежена послідовність.

Теорема (критерій Коші)

Для того щоб послідовність мала кінцевий межа, необхідно і достатньо, щоб вона була фундаментальною.

необхідність

Нехай послідовність має кінцевий межа. Покладемо його рівним. За визначенням меж таке, що і виконується нерівність. Нехай, тоді. Нехай, тоді. В силу нерівності для модуля суми (різниці), отримуємо. Отже, для будь-якого і для будь-якого виконується нерівність, т. Е. Виконується умова Коші.

достатність

Нехай - фундаментальна послідовність. Доведемо, що вона має кінцевий межа. За визначенням фундаментальної послідовності виконується нерівність. Так як фундаментальна послідовність є обмеженою, то, по теоремі Больцано-Вейєрштрасса. вона містить сходящуюся підпослідовність. Нехай її межа дорівнює, т. Е.. Покажемо, що число є межею вихідної послідовності. За визначенням меж. . Нехай. Фіксуємо номер (такий номер знайдеться, так як при). Тоді при і при всіх виконується нерівність. З цього випливає, що при всіх справедливо нерівність: т. Е..

Довести, що послідовність розходиться.

Доведення

необхідність:

Нехай послідовність має кінцевий межа. Доведемо, що вона є фундаментальною.
Нехай за визначенням границі послідовності:

Оскільки довільне, то ми можемо взяти замість нього, наприклад,:



Тобто:, а значить, - фундаментальна за визначенням.
Необхідність доведена.

достатність:

Нехай - фундаментальна послідовність. Доведемо, що вона має кінцевий межа. Спочатку покажемо, що - обмежена.
Оскільки - фундаментальна послідовність, то за визначенням фундаментальної послідовності:
і

Так як довільне, то візьмемо

Нехай, покажемо, що число $ a $ і буде межею всієї послідовності:
Оскільки фундаментальна:

Так як сходиться:



Візьмемо, тоді:

Доведемо, що послідовність не є фундаментальною.