Формули половинного кута, доказ, приклади
Формули половинного кута (їх ще називають формулами половинного аргументу) висловлюють синус, косинус, тангенс і котангенс кута через тригонометричні функції самого кута, і тим самим являють собою деяку протилежність формулами подвійного кута. У цій статті ми перерахуємо всі формули половинного кута, наведемо їх доказ і розглянемо кілька прикладів застосування цих формул.
Навігація по сторінці.
Список формул половинного кута
Для початку перерахуємо всі формули половинного кута:
Формули для синуса і косинуса половинного кута справедливі для будь-якого кута. Формула для тангенса має місце для будь-яких кутів, при яких визначено, тобто, при, де z - будь-яке ціле число (при цих же значення виразу відмінно від нуля, в іншому випадку ми б зіткнулися з розподілом на нуль). Формула котангенс половинного кута справедлива для всіх кутів, при яких визначено котангенс половинного кута, тобто, для.
Відразу кидається в очі, що формули половинного кута дані для квадратів тригонометричних функцій. Значення самих функцій знаходяться як арифметичний квадратний корінь з правих частин записаних рівностей, взятий зі знаком плюс або мінус, тобто, як і. Причому знак залежить від того, кутом який з координатних чвертей є кут.
Застосування цих формул розглянемо на прикладах трохи нижче.
Доказ формул половинного кута
Доказ формул половинного кута базується на формулах косинуса подвійного кута виду і. Дозволивши перше з записаних рівностей щодо, отримуємо формулу половинного кута для синуса. А дозволивши друга рівність щодо, отримуємо формулу половинного кута для косинуса.
Для доказу формул половинного кута для тангенса і котангенс нам будуть потрібні основні тригонометричні тотожності виду і, а також дві доведені вище формули половинного кута для синуса і косинуса. маємо
Так ми довели все формули половинного кута.
приклади використання
Метою цього пункту полягає в тому, щоб показати як застосовуються формули половинного кута при вирішенні конкретних прикладів. Почнемо з простого прикладу.