Формула кутової швидкості в фізиці

Визначення і формула кутової швидкості

Круговим рухом точки навколо деякої осі називають рух, при якому траєкторією точки є окружність з центром, який лежить на осі обертання, при цьому площина окружності перпендикулярна цій осі.

Обертанням тіла навколо осі називають рух, при якому всі точки тіла роблять кругові рухи біля цієї осі.

Переміщення при обертанні характеризують за допомогою кута повороту. Часто використовують вектор елементарного повороту. який дорівнює за величиною елементарного куту повороту тіла замаленькій відрізок часу dtі спрямований по миттєвої осі обертання в бік, звідки цей поворот видно реализующимся проти годинникової стрілки. Треба відзначити, що тільки елементарні кутові переміщення є векторами. Кути обертання на кінцеві величини векторами не є.

Кутовий швидкістю називають швидкість зміни кута повороту і позначають її зазвичай буквою. Математично визначення кутової швидкості записують так:

Кутова швидкість - векторна величина (це псевдовектор). Вона має напрямок уздовж миттєвої осі обертання збігається з напрямком поступального правого гвинта, якщо його обертати в бік обертання тіла (рис.1).

Вектор кутової швидкості може зазнавати зміни як за рахунок зміни швидкості обертання тіла навколо осі (зміна модуля кутової швидкості), так і за рахунок повороту осі обертання в просторі (при цьому змінює напрямок).

рівномірне обертання

Якщо тіло за рівні проміжки часу повертається на один і той же кут, то таке обертання називають рівномірним. При цьому модуль кутової швидкості знаходять як:

де - кут повороту, t - час, за який цей поворот здійснений.

Рівномірне обертання часто характеризують за допомогою періоду звернення (T), який є часом, за яке тіло виробляє один оборот). Кутова швидкість пов'язана з періодом обертання як:

З числом оборотів в одиницю часу () кутова швидкість пов'язана формулою:

Поняття періоду звернення і числа оборотів в одиницю часу іноді використовують і для опису нерівномірне обертання, але розуміють при цьому під миттєвим значенням T, час за який тіло робило б один оборот, якби воно оберталося рівномірно з даної миттєвої величиною швидкості.

Формула, що зв'язує лінійну і кутову швидкості

Лінійна швидкість точки А (рис.1), яка розташована на відстані R від осі обертання пов'язана з вектором кутової швидкості наступним векторних твором:

де - перпендикулярна до осі обертання компонента радіус-вектора точки (рис.1). Вектор проводять від точки, що знаходиться на осі обертання до розглянутій точці.

Одиниці виміру кутової швидкості

Основною одиницею виміру кутовий швидкості в системі СІ є: [] = рад / с

Приклади розв'язання задач

Завдання. Рух тіла з нерухомою віссю задано рівнянням, в радий, t в сек. Початок обертання при t = 0 c. Позитивним вважають кути зазначені напрямком стрілки (рис.2). В якому напрямку (щодо годинникової стрілки повертається тіло) в момент часу t = 0,5 c.

Рішення. Для знаходження модуля кутової швидкості застосуємо формулу:

Використовуємо задану в умові завдання функцію, візьмемо похідну від неї за часом, отримаємо функцію:

Обчислимо, чому буде дорівнює кутова швидкість в заданий момент часу (при t = 0,5 c):

Відповідь. У заданий момент часу тіло має кутову швидкість рівну нулю, отже, вона зупиняється.

Завдання. Швидкості обертання тіла задані системою рівнянь:

де і - одиничні ортогональні вектори. На який кут повертається тіло за час рівне 3 с?

Рішення. Визначимо, яка функція, яка пов'язує модуль швидкості обертання тіла і час (t) (). Так як вектора і перпендикулярні один одному, значить:

Модуль кутової швидкості пов'язаний з кутом повороту як:

Отже, кут повороту знайдемо як: