Дотична площину до сфери - студопедія

Опр: Площина має зі сферою тільки одну загальну току називається дотичній площиною до сфери, загальна точка дотику.

Теорема: Радіус сфери, проведений в точку дотику сфери і площини, перпендикулярний до дотичної площини.

Припустимо, що це не так. Тоді радіус ОА є похилій до площини # 945; . і, отже, відстань від центру сфери до площини # 945; менше радіуса сфери. Тому сфера і площину перетинаються по колу. Але це суперечить тому, що площина # 945; - дотична, тобто сфера і площину # 945; мають тільки одну спільну точку. Отримане протиріччя доказ-кість, що радіус ОА перпендикулярний до площини # 945; . Теорема доведена.

Доведемо зворотну теорему.

Теорема: Якщо радіус сфери перпендикулярний до площини, що проходить через його кінець, що лежить на сфері, то ця площину є дотичною до сфери.

Доказ: (стр. 132)

З умови теореми випливає, що даний радіус є перпендикуляром, проведеним з центру сфери до даної площини. Тому відстань від центру сфери до площини дорівнює радіусу сфери, і, отже, сфера і площину мають тільки одну спільну точку. Це і означає, що дана площину є дотичною.