доповнення i

Ми бачили в § 12, що при будь-якому цілому n функція cos n (arc cos х) визначена на [-1, 1], збігається на цьому сегменті з деякими многочленом ступеня n. Ці многочлени звуться полиномов Чебишева, на ім'я великого українського математика, і позначаються символом Тn (х). Згідно з результатами, отриманими в § 12, маємо:

У цьому додатку ми зупинимося на деяких чудових властивостях полиномов Чебишева. Виведемо рекуррентную формулу, що дозволяє послідовно обчислювати поліноми Чебишева.

Чебишев Пафнутій Львович

Покладемо в тригонометричної формулою:

cos (# 945; + # 946;) = 2 cos # 945; cos # 946; - cos (# 945; - # 946;); # 945; = N # 966 ;; # 946; = # 966 ;,

cos (n + 1) # 966; = 2 cosn # 966; cos # 966; - cos (n - 1) # 966 ;.

вважаючи # 966; = Arc cos x, матимемо:

Приймаючи до уваги, що

* (T0 (x) = 1, так як cos (0 arc sin x) = cos 0 = 1.)

Користуючись формулою (1), знайдемо;

Визначимо значення коефіцієнта при x n в поліномі Тn. Легко бачити, що цей коефіцієнт є 2 n-1. Доведемо це методом повної індукції. Справді, для полінома Тn наше твердження справедливо. Припустимо, що для полінома Tn цей коефіцієнт дорівнює 2 n-1. тоді, в силу рекуррентной формули (I), ми бачимо, що коефіцієнт при х n + 1 полінома Tn + 1 є 2 n. Звідси випливає справедливість висловленої затвердження для будь-якого натурального значення n.

Як і всякий многочлен ступеня n, Тn має n коренів; покажемо, що всі ці коріння дійсні і розташовані в інтервалі (-1, 1). Справді, в інтервалі (-1, 1) маємо

де k - будь-яке ціле число.

Надаючи k значення 1, 2, 3. n, ми, отримуємо n коренів Тn (х). Будемо ці корені відповідно до значенням k позначати так: x1. х2. хk. хn.

Надаючи k цілі значення, відмінні від розглянутих, ми не отримаємо інших коренів, крім знайдених. Справді:

Значення х1. х2. xn є простими корінням Тn (х), бо серед них немає рівних. Для побудови коренів Тn можна поступити наступним чином: розділимо півколо одиничного радіуса на 2n рівних частин, Занумеруем точки поділу в напрямку, зазначеному на кресленні 58, і відзначимо точку Л, найближчу до точки В з абсцис 1. Потім, починаючи з точки А, спроектуємо на відрізок [-1, 1] через одну точки поділу (рис. 58). Отримані в проекції точки і є геометричним зображенням коренів полінома Тn (х),

Якщо значення х укладено на сегменті [- 1, 1], то (в силу визначення) значення поліномів Чебишева укладені на тому ж сегменті:

Визначимо ті значення х на сегменті [-1, 1], для яких Тn (х) = ± 1; так як Тn (х) = cos (n arc cos x), то

Тn (х) = 1, якщо n arc cos x = 2kπ;

Тn (х) = -1, якщо n arc cos x = (2k + 1) π.