Ділення многочленів (куточком)

Почнемо з деяких визначень. Многочленом n-го ступеня (або n-го порядку) будемо називати вираз виду $ P_n (x) = \ sum \ limits_ ^ a_x ^ = a_x ^ + a_x ^ + a_x ^ + \ ldots + a_x + a_n $. Наприклад, вираз $ 4x ^ + 87x ^ 2 + 4x-11 $ є многочлен, ступінь якого дорівнює $ 14 $. Його можна позначити так: $ P_ (x) = 4x ^ + 87x ^ 2 + 4x-11 $.

Коефіцієнт $ a_0 $ називають старшим коефіцієнтом многочлена $ P_n (x) $. Наприклад, для многочлена $ 4x ^ + 87x ^ 2 + 4x-11 $ старший коефіцієнт дорівнює $ 4 $ (число перед $ x ^ $). Число $ a_n $ називають вільним членом многочлена $ P_n (x) $. Наприклад, для $ 4x ^ + 87x ^ 2 + 4x-11 $ вільний член дорівнює $ (- 11) $. Тепер звернемося до теоремі, на якій, власне кажучи, і буде засновано виклад матеріалу на даній сторінці.

Для будь-яких двох многочленів $ P_n (x) $ і $ G_m (x) $ можна знайти такі многочлени $ Q_p (x) $ і $ R_k (x) $, що буде виконано рівність

Словосполучення "розділити многочлен $ P_n (x) $ на многочлен $ G_m (x) $" означає "уявити многочлен $ P_n (x) $ в формі (1)". Будемо називати многочлен $ P_n (x) $ - діленим, многочлен $ G_m (x) $ - дільником, многочлен $ Q_p (x) $ - часткою від ділення $ P_n (x) $ на $ G_m (x) $, а многочлен $ R_k (x) $ - остачей від ділення $ P_n (x) $ на $ G_m (x) $. Наприклад, для многочленів $ P_6 (x) = 12x ^ 6 + 3x ^ 5 + 16x ^ 4 + 6x ^ 3 + 8x ^ 2 + 2x + 1 $ і $ G_4 (x) = 3x ^ 4 + 4x ^ 2 + 2 $ можна отримати таке рівність:

Тут многочлен $ P_6 (x) $ є діленим, многочлен $ G_4 (x) $ - дільником, многочлен $ Q_2 (x) = 4x ^ 2 + x $ - часткою від ділення $ P_6 (x) $ на $ G_4 (x) $, а многочлен $ R_3 (x) = 2x ^ 3 + 1 $ - залишком від ділення $ P_6 (x) $ на $ G_4 (x) $. Зауважу, що ступінь залишку (тобто 3) менше ступеня дільника, (тобто 4), тому умова рівності (1) дотримано.

Якщо $ R_k (x) \ equiv 0 $, то кажуть, що многочлен $ P_n (x) $ ділиться на многочлен $ G_m (x) $ без залишку. Наприклад, многочлен $ 21x ^ 6 + 6x ^ 5 + 105x ^ 2 + 30x $ ділиться на многочлен $ 3x ^ 4 + 15 $ без залишку, так як виконано рівність:

Тут многочлен $ P_6 (x) = 21x ^ 6 + 6x ^ 5 + 105x ^ 2 + 30x $ є діленим; многочлен $ G_4 (x) = 3x ^ 4 + 15 $ - дільником; а многочлен $ Q_2 (x) = 7x ^ 2 + 2x $ - часткою від ділення $ P_6 (x) $ на $ G_4 (x) $. Залишок дорівнює нулю.

Щоб розділити многочлен на многочлен часто застосовують поділ "стовпчиком" або, як його ще називають, "куточком". Реалізацію цього методу розберемо на прикладах.

Перед тим, як перейти до прикладів, я введу ще один термін. Він не є загальноприйнятим. і використовувати його ми будемо виключно для зручності викладу матеріалу. До кінця цієї сторінки будемо називати старшим елементом многочлена $ P_n (x) $ вираз $ a_x ^ $. Наприклад, для многочлена $ 4x ^ + 87x ^ 2 + 4x-11 $ старшим елементом буде $ 4x ^ $.

Розділити $ 10x ^ 5 + 3x ^ 4-12x ^ 3 + 25x ^ 2-2x + 5 $ на $ 5x ^ 2-x + 2 $, використовуючи поділ "стовпчиком".

Отже, ми маємо два многочлена, $ P_5 (x) = 10x ^ 5 + 3x ^ 4-12x ^ 3 + 25x ^ 2-2x + 5 $ і $ G_2 (x) = 5x ^ 2-x + 2 $. Ступінь першого дорівнює $ 5 $, а ступінь другого дорівнює $ 2 $. Многочлен $ P_5 (x) $ - ділене, а многочлен $ G_2 (x) $ - дільник. Наше завдання полягає в знаходженні приватного і залишку. Поставлену задачу будемо вирішувати покроково. Будемо використовувати ту ж запис, що і для поділу чисел:

Розділимо старший елемент многочлена $ P_5 (x) $ (тобто $ 10x ^ 5 $) на старший елемент многочлена $ Q_2 (x) $ (тобто $ 5x ^ 2 $):

Отриманий вираз $ 2x ^ 3 $ - це перший елемент приватного:

Помножимо многочлен $ 5x ^ 2x + 2 $ на $ 2x ^ 3 $, отримавши при цьому:

Запишемо отриманий результат:

Тепер віднімемо з многочлена $ 10x ^ 5 + 3x ^ 4-12x ^ 3 + 25x ^ 2-2x + 5 $ многочлен $ 10x ^ 5-2x ^ 4 + 4x ^ 3 $:

Цей многочлен допишемо вже під рисою:

На цьому перший крок закінчується. Той результат, що ми отримали, можна записати в розгорнутій формі:

Так як ступінь многочлена $ 5x ^ 4-16x ^ 3 + 25x ^ 2-2x + 5 $ (тобто 4) більше ступеня многочлена $ 5x ^ 2-x + 2 $ (тобто 2), то процес ділення треба продовжити. Перейдемо до другого кроку.

Тепер уже будемо працювати з многочленами $ 5x ^ 4-16x ^ 3 + 25x ^ 2-2x + 5 $ і $ 5x ^ 2-x + 2 $. Точно так же, як і на першому кроці, розділимо старший елемент першого многочлена (тобто $ 5x ^ 4 $) на старший елемент другого многочлена (тобто $ 5x ^ 2 $):

Отриманий вираз $ x ^ 2 $ - це другий елемент приватного. Додамо до приватного $ x ^ 2 $

Помножимо многочлен $ 5x ^ 2-x + 2 $ на $ x ^ 2 $, отримавши при цьому:

Запишемо отриманий результат:

Тепер віднімемо з многочлена $ 5x ^ 4-16x ^ 3 + 25x ^ 2-2x + 5 $ многочлен $ 5x ^ 4-x ^ 3 + 2x ^ 2 $:

Цей многочлен допишемо вже під рисою:

На цьому другий крок закінчується. Отриманий результат можна записати в розгорнутій формі:

Так як ступінь многочлена $ -15x ^ 3 + 23x ^ 2-2x + 5 $ (тобто 3) більше ступеня многочлена $ 5x ^ 2-x + 2 $ (тобто 2), то продовжуємо процес ділення. Перейдемо до третього кроку.

Тепер уже будемо працювати з многочленами $ -15x ^ 3 + 23x ^ 2-2x + 5 $ і $ 5x ^ 2-x + 2 $. Точно так же, як і на попередніх кроках, розділимо старший елемент першого многочлена (тобто $ -15x ^ 3 $) на старший елемент другого многочлена (тобто $ 5x ^ 2 $):

Отриманий вираз $ (- 3x) $ - це третій елемент приватного. Допишемо до приватного $ -3x $

Помножимо многочлен $ 5x ^ 2-x + 2 $ на $ (- 3x) $, отримавши при цьому:

Запишемо отриманий результат:

Тепер віднімемо з многочлена $ -15x ^ 3 + 23x ^ 2-2x + 5 $ многочлен $ -15x ^ 3 + 3x ^ 2-6x $:

Цей многочлен допишемо вже під рисою:

На цьому третій крок закінчується. Отриманий результат можна записати в розгорнутій формі:

Так як ступінь многочлена $ 20x ^ 2 + 4x + 5 $ (тобто 2) дорівнює ступеня многочлена $ 5x ^ 2-x + 2 $ (тобто 2), то продовжуємо процес ділення. Перейдемо до четвертого кроку.

Тепер уже будемо працювати з многочленами $ 20x ^ 2 + 4x + 5 $ і $ 5x ^ 2-x + 2 $. Точно так же, як і на попередніх кроках, розділимо старший елемент першого многочлена (тобто $ 20x ^ 2 $) на старший елемент другого многочлена (тобто $ 5x ^ 2 $):

Отримане число $ 4 $ - це четвертий елемент приватного. Допишемо до приватного $ 4 $

Помножимо многочлен $ 5x ^ 2-x + 2 $ на $ 4 $, отримавши при цьому:

Запишемо отриманий результат:

Тепер віднімемо з многочлена $ 20x ^ 2 + 4x + 5 $ многочлен $ 20x ^ 2-4x + 8 $:

Цей многочлен допишемо вже під рисою:

На цьому четвертий крок закінчується. Отриманий результат можна записати в розгорнутій формі:

Так як ступінь многочлена $ 8x-3 $ (тобто 1) менше ступеня многочлена $ 5x ^ 2-x + 2 $ (тобто 2), то процес поділу завершений. Часткою від ділення многочлена $ P_6 (x) $ на многочлен $ G_2 (x) $ є многочлен $ Q_3 (x) = 2x ^ 3 + x ^ 2-3x + 4 $. Залишок від ділення $ P_6 (x) $ на $ G_2 (x) $ - це многочлен $ R_1 (x) = 8x-3 $. По суті, ми представили вихідний многочлен $ P_6 (x) $ в формі (1):

Відповідь. частка від ділення - многочлен $ 2x ^ 3 + x ^ 2-3x + 4 $, залишок - многочлен $ 8x-3 $.

Розділити $ 4x ^ 3 + 2x-11 $ на $ x + 5 $, використовуючи поділ "стовпчиком".

Тут можна використовувати схему Горнера (і це було б дещо менш громіздко). Однак для суто демонстраційних цілей використовуємо розподіл "стовпчиком". Докладні пояснення є в прикладі №1, тому тут вкажемо тільки хід рішення.

Результат можна записати в такій формі:

Отже, часткою від ділення $ 4x ^ 3 + 2x-11 $ на $ x + 5 $ є многочлен $ 4x ^ 2-20x + 102 $, а залишок є число $ (- 521) $ (по суті, це многочлен нульового порядку ).

Відповідь. приватне - многочлен $ 4x ^ 2-20x + 102 $, залишок - число $ -521 $.

Розділити $ 7x ^ 3 + 9x ^ 2-5x + 9 $ на $ 5x ^ 7 + 10x ^ 6-17x ^ 2 + 14x-7 $.

Ступінь подільника (тобто многочлена $ 5x ^ 7 + 10x ^ 6-17x ^ 2 + 14x-7 $) дорівнює $ 7 $. Ступінь діленого (многочлена $ 7x ^ 3 + 9x ^ 2-5x + 9 $) дорівнює 3. У цьому ситуації, коли ступінь дільника більшій мірі діленого ($ 7> 3 $) розкладання виду (1) можливо лише в такій формі:

Відповідь. частное є 0, залишок - многочлен $ 7x ^ 3 + 9x ^ 2-5x + 9 $.